Calcolo Esempi

$\int_{1}^{6} \frac{9}{4 \sqrt[4]{3 x - 2}} d x$

Passaggio 1

Poiché $\frac{9}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{9}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{9}{4} \int_{1}^{6} \frac{1}{\sqrt[4]{3 x - 2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 3 x - 2$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = 3 x - 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $3 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 2.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 3 x - 2$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 1 - 2$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$u_{lower} = 3 - 2$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 3 x - 2$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 6 - 2$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica $3$ per $6$ .

$u_{upper} = 18 - 2$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $2$ da $18$ .

$u_{upper} = 16$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[4]{u}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u} \cdot 3} d u$

Passaggio 3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $\sqrt[4]{u}$ .

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{3 \sqrt[4]{u}} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{9}{4} (\frac{1}{3} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u)$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Semplifica.

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Passaggio 5.1.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{9}{4}$ .

$\frac{9}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{9}{12} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Passaggio 5.1.3

Elimina il fattore comune di $9$ e $12$ .

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Passaggio 5.1.3.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{3 (3)}{12} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Passaggio 5.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.1.3.2.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Passaggio 5.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Passaggio 5.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Passaggio 5.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{u}$ come $u^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

Passaggio 5.2.2

Sposta $u^{\frac{1}{4}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

Passaggio 5.2.3.2

$\frac{1}{4}$ e $- 1$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{\frac{- 1}{4}} d u$

Passaggio 5.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{- \frac{1}{4}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{4}}$ rispetto a $u$ è $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{4} \frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}]_{1}^{16}$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ per $16$ e per $1$ .

$\frac{3}{4} ((\frac{4}{3} \cdot 16^{\frac{3}{4}}) - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Riscrivi $16$ come $2^{4}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot {(2^{4})}^{\frac{3}{4}} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Passaggio 7.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{4 (\frac{3}{4})} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Passaggio 7.2.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 7.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{4 (\frac{3}{4})} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Passaggio 7.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Passaggio 7.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Passaggio 7.2.5

$\frac{4}{3}$ e $8$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 \cdot 8}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Passaggio 7.2.6

Moltiplica $4$ per $8$ .

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Passaggio 7.2.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1)$

Passaggio 7.2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3})$

Passaggio 7.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{32 - 4}{3}$

Passaggio 7.2.10

Sottrai $4$ da $32$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{28}{3}$

Passaggio 7.2.11

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $\frac{28}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 28}{4 \cdot 3}$

Passaggio 7.2.12

Moltiplica $3$ per $28$ .

$\frac{84}{4 \cdot 3}$

Passaggio 7.2.13

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{84}{12}$

Passaggio 7.2.14

Elimina il fattore comune di $84$ e $12$ .

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Passaggio 7.2.14.1

Scomponi $12$ da $84$ .

$\frac{12 \cdot 7}{12}$

Passaggio 7.2.14.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.2.14.2.1

Scomponi $12$ da $12$ .

$\frac{12 \cdot 7}{12 (1)}$

Passaggio 7.2.14.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 \cdot 7}{12 \cdot 1}$

Passaggio 7.2.14.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7}{1}$

Passaggio 7.2.14.2.4

Dividi $7$ per $1$ .

$7$

Passaggio 8