Calcolo Esempi

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ come funzione.

$f (x) = \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \sin^{2} (x) d x + \int - \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 5

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (x)$ come $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x + \int - \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int - \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x) + \int - \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x) + \int - \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x) + \int - \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 10

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 10.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}) + \int - \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 11

$\cos (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1})) + \int - \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 13

L'integrale di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \int - \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 14

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 15

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (x)$ come $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Passaggio 16

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x)$

Passaggio 17

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Passaggio 18

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Passaggio 19

Sia $u_{2} = 2 x$ . Allora $d u_{2} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sia $u_{2} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 19.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 19.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 19.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 19.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Passaggio 20

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 21

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 22

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Passaggio 23

Semplifica.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u_{1})) - \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Passaggio 24

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Passaggio 24.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Passaggio 25

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Passaggio 25.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Passaggio 25.3

$x$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Passaggio 25.4

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.4.1

Moltiplica $\frac{\sin (2 x)}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 25.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Passaggio 25.5

$\sin (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Passaggio 25.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Passaggio 25.7

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Passaggio 25.8

Moltiplica $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.8.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Passaggio 25.8.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Passaggio 26

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Passaggio 27

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$