Calcolo Esempi

$\sqrt{2 + 2 x} {(x^{2} + 1)}^{3}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 + 2 x}$ come ${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{3}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$ .

${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}] + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2} + 1$ .

${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2} + 1$ .

${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta $3$ alla sinistra di ${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \cdot {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$3 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 + 2 x$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 + 2 x$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Passaggio 6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Passaggio 7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Passaggio 8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Passaggio 9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Passaggio 9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Passaggio 10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Passaggio 10.2

$\frac{1}{2}$ e ${(2 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{{(2 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Passaggio 10.3

Sposta ${(2 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Passaggio 10.4

$\frac{1}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ e ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x]$

Passaggio 11

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 12

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 13

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 14

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 15

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

$2$ e $\frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 15.2

Elimina il fattore comune.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 15.3

Riscrivi l'espressione.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 16

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 17

Moltiplica $\frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18

Per scrivere $6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20

Moltiplica ${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Sposta ${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 ({(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}) {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1 + 1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{\frac{2}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{1} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 21

Semplifica $6 {(2 + 2 x)}^{1} {(x^{2} + 1)}^{2} x$ .

$\frac{6 (2 + 2 x) {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(6 \cdot 2 + 6 (2 x)) {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.1

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{2}$ da $(6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.1.1

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{2}$ da $(6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) {(x^{2} + 1)}^{2} x$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) x) + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.2.1.2

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{2}$ da ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) x) + {(x^{2} + 1)}^{2} (x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.2.1.3

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{2}$ da ${(x^{2} + 1)}^{2} ((6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) x) + {(x^{2} + 1)}^{2} (x^{2} + 1)$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) x + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.2.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((12 + 6 \cdot 2 x) x + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.2.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((12 + 12 x) x + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x + 12 x \cdot x + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.2.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x + 12 (x \cdot x) + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.2.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x + 12 x^{2} + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.2.5

Somma $12 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x + 13 x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.2.6

Riordina i termini.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (13 x^{2} + 12 x + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.3

Riordina i termini.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (13 x^{2} + 12 x + 1)}{{(2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$