Calcolo Esempi

$y = e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = \cos (2 t) + 2 \sin (2 t)$ .

$e^{t} \frac{d}{d t} [\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)] + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [\cos (2 t)] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]$ .

$e^{t} (\frac{d}{d t} [\cos (2 t)] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = 2 t$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 t$ .

$e^{t} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Passaggio 3.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$e^{t} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 t$ .

$e^{t} (- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{t} (- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Passaggio 4.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Passaggio 4.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 \sin (2 t)$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 2 \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = 2 t$ .

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Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 t$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 t])) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Passaggio 5.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 2 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [2 t])) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 t$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 2 (\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t])) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Passaggio 6

Differenzia.

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Passaggio 6.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 2 \cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 4 \cos (2 t) \frac{d}{d t} [t]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Passaggio 6.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 4 \cos (2 t) \cdot 1) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Passaggio 6.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 4 \cos (2 t)) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ è $a^{t} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 4 \cos (2 t)) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) e^{t}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{t} (- 2 \sin (2 t)) + e^{t} (4 \cos (2 t)) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) e^{t}$

Passaggio 8.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{t} (- 2 \sin (2 t)) + e^{t} (4 \cos (2 t)) + \cos (2 t) e^{t} + 2 \sin (2 t) e^{t}$

Passaggio 8.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 8.3.1

Riordina $\cos (2 t)$ e $e^{t}$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t)) + 4 \cdot e^{t} \cos (2 t) + e^{t} \cos (2 t) + 2 \sin (2 t) e^{t}$

Passaggio 8.3.2

Somma $4 e^{t} \cos (2 t)$ e $e^{t} \cos (2 t)$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t)) + 5 e^{t} \cos (2 t) + 2 \sin (2 t) e^{t}$

Passaggio 8.3.3

Sposta $\sin (2 t)$ .

$5 e^{t} \cos (2 t) - 2 \cdot e^{t} \sin (2 t) + 2 e^{t} \sin (2 t)$

Passaggio 8.3.4

Somma $- 2 e^{t} \sin (2 t)$ e $2 e^{t} \sin (2 t)$ .

$5 e^{t} \cos (2 t) + 0$

Passaggio 8.3.5

Somma $5 e^{t} \cos (2 t)$ e $0$ .

$5 e^{t} \cos (2 t)$