Calcolo Esempi

$\int_{3}^{5} \frac{2 x^{2} + x + 4}{x - 1} d x$

Passaggio 1

Dividi $2 x^{2} + x + 4$ per $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{2}$

$x$

$4$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$2 x$
	$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{2} - 2 x$

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$

Passaggio 1.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$

Passaggio 1.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$

Passaggio 1.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$
					+	$3 x$	-	$3$

Passaggio 1.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x - 3$

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$
					-	$3 x$	+	$3$

Passaggio 1.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$
					-	$3 x$	+	$3$
							+	$7$

Passaggio 1.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int_{3}^{5} 2 x + 3 + \frac{7}{x - 1} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{3}^{5} 2 x d x + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{3}^{5} x d x + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{5}) + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

Passaggio 5

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

Passaggio 7

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , sposta $7$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 \int_{3}^{5} \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 8

Sia $u = x - 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u = x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 8.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 8.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 8.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 3 - 1$

Passaggio 8.3

Sottrai $1$ da $3$ .

$u_{lower} = 2$

Passaggio 8.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 5 - 1$

Passaggio 8.5

Sottrai $1$ da $5$ .

$u_{upper} = 4$

Passaggio 8.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 4$

Passaggio 8.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 \int_{2}^{4} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Passaggio 10

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 10.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $5$ e per $3$ .

$2 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{3^{2}}{2}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Passaggio 10.2

Calcola $3 x$ per $5$ e per $3$ .

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Passaggio 10.3

Calcola $\ln (| u |)$ per $4$ e per $2$ .

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Passaggio 10.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$2 (\frac{25}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Passaggio 10.4.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$2 (\frac{25}{2} - \frac{9}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Passaggio 10.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 \frac{25 - 9}{2} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Passaggio 10.4.4

Sottrai $9$ da $25$ .

$2 (\frac{16}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Passaggio 10.4.5

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.5.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$2 \frac{2 \cdot 8}{2} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Passaggio 10.4.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.5.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Passaggio 10.4.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Passaggio 10.4.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{8}{1}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Passaggio 10.4.5.2.4

Dividi $8$ per $1$ .

$2 \cdot 8 + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Passaggio 10.4.6

Moltiplica $2$ per $8$ .

$16 + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Passaggio 10.4.7

Moltiplica $3$ per $5$ .

$16 + 15 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Passaggio 10.4.8

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$16 + 15 - 9 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Passaggio 10.4.9

Sottrai $9$ da $15$ .

$16 + 6 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Passaggio 10.4.10

Somma $16$ e $6$ .

$22 + 7 (\ln (| 4 |) - \ln (| 2 |))$

Passaggio 11

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$22 + 7 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |})$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $4$ è $4$ .

$22 + 7 \ln (\frac{4}{| 2 |})$

Passaggio 12.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$22 + 7 \ln (\frac{4}{2})$

Passaggio 12.3

Dividi $4$ per $2$ .

$22 + 7 \ln (2)$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$22 + 7 \ln (2)$

Forma decimale:

$26.85203026 \dots$

Passaggio 14