Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{\sqrt{2 x}}{x} d x + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Passaggio 4

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{\frac{u}{2}} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Semplifica.

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Passaggio 5.1.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{u}{2}$ .

$\int \sqrt{u} \frac{2}{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Passaggio 5.1.2

$\sqrt{u}$ e $\frac{2}{u}$ .

$\int \frac{\sqrt{u} \cdot 2}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Passaggio 5.1.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{2 \cdot \sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $\frac{2 \sqrt{u}}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{u \cdot 2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Passaggio 5.1.5

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{2 \cdot u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Passaggio 5.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{2 u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Passaggio 5.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{\sqrt{u}}{u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Passaggio 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $u$ per $u^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.3.2.1

Moltiplica $u$ per $u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Passaggio 5.3.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Passaggio 5.3.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Passaggio 5.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Passaggio 5.3.2.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Passaggio 5.4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.4.1

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Passaggio 5.4.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Passaggio 5.4.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Passaggio 7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Passaggio 8

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 8.1

Sposta $x^{5}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Passaggio 8.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Passaggio 8.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int x^{- 5} d x$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 5}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

$x^{- 4}$ e $\frac{1}{4}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

Passaggio 10.1.2

Sposta $x^{- 4}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

Passaggio 10.2

Semplifica.

$2 u^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{4 x^{4}} + C$

Passaggio 10.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 u^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$

Passaggio 12

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}}$ .

$F (x) =$ $2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$