Calcolo Esempi

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x + 5) (x - 5)}{13 (x + 3) (x + 5)}$

Passaggio 1

Elimina il fattore comune di $x + 5$ .

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Passaggio 1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x + 5) (x - 5)}{13 (x + 3) (x + 5)}$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x - 5)}{13 (x + 3)}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to - \infty} (x + 2) (x - 5)}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x (x - 5) + 2 (x - 5)}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Passaggio 2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 5 + 2 (x - 5)}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Passaggio 2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 5 + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Passaggio 2.1.2.4

Riordina $x$ e $- 5$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x - 5 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Passaggio 2.1.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x - 5 x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Passaggio 2.1.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x^{1} - 5 x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Passaggio 2.1.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1 + 1} - 5 x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Passaggio 2.1.2.8

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 2.1.2.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 5 x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Passaggio 2.1.2.8.2

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 5 x + 2 x - 10}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Passaggio 2.1.2.8.3

Somma $- 5 x$ e $2 x$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 3 x - 10}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Passaggio 2.1.2.9

Il limite che tende a meno infinito di un polinomio con grado pari il cui coefficiente direttivo è positivo è infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.3.1

Semplifica moltiplicando.

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Passaggio 2.1.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} 13 x + 13 \cdot 3}$

Passaggio 2.1.3.1.2

Moltiplica $13$ per $3$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} 13 x + 39}$

Passaggio 2.1.3.2

Il limite a meno infinito di un polinomio con grado dispari il cui coefficiente direttivo è meno infinito.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 2.1.3.3

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 2.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{\infty}{- \infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x - 5)}{13 (x + 3)} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 2$ e $g (x) = x - 5$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Passaggio 2.3.6

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $x + 2$ per $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Passaggio 2.3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Passaggio 2.3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Passaggio 2.3.10

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Passaggio 2.3.11

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Passaggio 2.3.12

Moltiplica $x - 5$ per $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + x - 5}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Passaggio 2.3.13

Somma $x$ e $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 2 - 5}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Passaggio 2.3.14

Sottrai $5$ da $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Passaggio 2.3.15

Poiché $13$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $13 (x + 3)$ rispetto a $x$ è $13 \frac{d}{d x} [x + 3]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 \frac{d}{d x} [x + 3]}$

Passaggio 2.3.16

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}$

Passaggio 2.3.17

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 (1 + \frac{d}{d x} [3])}$

Passaggio 2.3.18

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 (1 + 0)}$

Passaggio 2.3.19

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.20

Moltiplica $13$ per $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13}$

Passaggio 3

Dividi la frazione $\frac{2 x - 3}{13}$ in due frazioni.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{13} + \frac{- 3}{13}$

Passaggio 4

Il limite a meno infinito di un polinomio con grado dispari il cui coefficiente direttivo è meno infinito.

$- \infty$