Calcolo Esempi

$\frac{1}{2 y^{2}} + \frac{y^{4}}{16}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2 y^{2}} + \frac{y^{4}}{16}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2 y^{2}}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{1}{2 y^{2}}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{1}{y^{2}}$ come ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = y^{2}$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Passaggio 2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Passaggio 2.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{1}{2} (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Passaggio 2.7

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Passaggio 2.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Passaggio 2.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Passaggio 2.10

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} y^{- 3} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Passaggio 2.11

$\frac{- 2}{2}$ e $y^{- 3}$ .

$\frac{- 2 y^{- 3}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Passaggio 2.12

Sposta $y^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Passaggio 2.13

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 2.13.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Passaggio 2.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.2.1

Scomponi $2$ da $2 y^{3}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (y^{3})} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Passaggio 2.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Passaggio 2.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Passaggio 2.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $\frac{1}{16}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{y^{4}}{16}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{16} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{1}{16} \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{1}{16} (4 y^{3})$

Passaggio 3.3

$4$ e $\frac{1}{16}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4}{16} y^{3}$

Passaggio 3.4

$\frac{4}{16}$ e $y^{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 y^{3}}{16}$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $4$ e $16$ .

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Passaggio 3.5.1

Scomponi $4$ da $4 y^{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 (y^{3})}{16}$

Passaggio 3.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.5.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 y^{3}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 y^{3}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{y^{3}}{4}$

Passaggio 4

Riordina i termini.

$\frac{y^{3}}{4} - \frac{1}{y^{3}}$