Calcolo Esempi

$\frac{\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 + \sqrt{x}}]$

Passaggio 1.1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 + x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.8.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.8.3

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.11

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.13

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.14

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.16

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.16.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.16.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.18

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.19

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.20

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.20.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.20.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{- 1 + 1}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.20.3

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{0}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.20.4

Dividi $0$ per $2$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{0}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.21

Semplifica $x^{0}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.22

Per scrivere $(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.23

$(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.24

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 - 1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.25

$2$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.26

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.27

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.28

Riscrivi $\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ come un prodotto.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.29

Moltiplica $\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2}$ per $\frac{1}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.30

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.30.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.30.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.30.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.30.2.1.1

Moltiplica $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.30.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.30.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.30.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 - 1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.30.2.2

Combina i termini opposti in $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.30.2.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.30.2.2.2

Somma $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.30.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.30.3.1

Riscrivi $\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ come un prodotto.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.30.3.2

Moltiplica $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 1.30.4

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ come ${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}])$

Passaggio 2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2}$ .

$- \frac{{(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Sposta ${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}] + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.6.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.6.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.6.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.11

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.11.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.11.3

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $2$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.11.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.4.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.11.4.2

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.11.5

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.11.6

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.11.7

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} (1 + x^{\frac{1}{2}}) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.11.8

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} (1 + x^{\frac{1}{2}}) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.11.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.9.1

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 (1 + x^{\frac{1}{2}}) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.11.9.2

Moltiplica $1 + x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 2.13

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Passaggio 2.14

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 2.15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 2.16

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Passaggio 2.16.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Passaggio 2.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Passaggio 2.18

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.19

${(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + \frac{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.20

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.20.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + \frac{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.20.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.22

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.1

Applica la regola del prodotto a $x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$- \frac{1}{2 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2})} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.22.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2})} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.22.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2})} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.22.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2 (x^{1} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2})} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.22.2.2

Semplifica.

$- \frac{1}{2 (x {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2})} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.22.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 (x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2 \cdot 2})} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.22.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{1}{2 (x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4})} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

$- \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.22.3

Riordina i fattori di $- \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.4.1

Riscrivi ${(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ come $(1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})$ .

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.4.2

Espandi $(1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 (1 + x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.4.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.4.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.4.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.4.3.1.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.4.3.1.3

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.4.3.1.4

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.4.3.1.4.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.4.3.1.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.4.3.1.4.3

Somma $1$ e $1$ .

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.4.3.1.4.4

Dividi $2$ per $2$ .

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{1}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.4.3.1.5

Semplifica $x^{1}$ .

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.4.3.2

Somma $x^{\frac{1}{2}}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} + x}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.4.4

Somma $2 x^{\frac{1}{2}}$ e $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.4.5

Riordina i termini.

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.5

Per scrivere $x^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- (x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.6

$x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- (\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.8.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.8.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.8.2.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.8.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.8.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.8.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{2 x^{\frac{2}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.8.2.5

Dividi $2$ per $2$ .

$- \frac{2 x^{1} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.8.3

Semplifica $2 x^{1}$ .

$- \frac{2 x + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.8.4

Somma $2 x$ e $x$ .

$- \frac{3 x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.8.5

Riscrivi $3 x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.8.5.1

Riscrivi $x$ come ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$- \frac{3 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.8.5.2

Sia $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{\frac{1}{2}}$ con $u$ .

$- \frac{3 u^{2} + 4 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.8.5.3

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.8.5.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ e la cui somma è $b = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.8.5.3.1.1

Scomponi $4$ da $4 u$ .

$- \frac{3 u^{2} + 4 (u) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.8.5.3.1.2

Riscrivi $4$ come $1$ più $3$ .

$- \frac{3 u^{2} + (1 + 3) u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.8.5.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3 u^{2} + 1 u + 3 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.8.5.3.1.4

Moltiplica $u$ per $1$ .

$- \frac{3 u^{2} + u + 3 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.8.5.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.8.5.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- \frac{(3 u^{2} + u) + 3 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.8.5.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- \frac{u (3 u + 1) + 1 (3 u + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.8.5.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 u + 1$ .

$- \frac{(3 u + 1) (u + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.8.5.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.9

Moltiplica $- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$ .

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Passaggio 2.22.9.1

Moltiplica $\frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$ per $\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 2.22.9.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.22.9.3

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.22.9.3.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 (x^{\frac{1}{2}} x) {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.9.3.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.9.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.9.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 x^{\frac{1}{2} + 1} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.9.3.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.9.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 x^{\frac{1 + 2}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.9.3.5

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 x^{\frac{3}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Passaggio 2.22.10

Riordina i termini.

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.22.11

Scomponi $x^{\frac{1}{2}} + 1$ da $(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)$ .

$- \frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.22.12

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.22.12.1

Scomponi $x^{\frac{1}{2}} + 1$ da $4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}$ .

$- \frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3})}$

Passaggio 2.22.12.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3})}$

Passaggio 2.22.12.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 1}{4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$