Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{\tan (x)}}$

Passaggio 1

Applica le identità trigonometriche.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

Passaggio 1.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Passaggio 1.3

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\cot (x)}$

Passaggio 2

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${(e^{x} - x)}^{\cot (x)}$ come $e^{\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})}$

Passaggio 2.2

Espandi $\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})$ spostando $\cot (x)$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (e^{x} - x)}$

Passaggio 3

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (e^{x} - x)}$

Passaggio 4

Considera il limite sinistro.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (e^{x} - x)$

Passaggio 5

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (e^{x} - x) \\ - 0.1 & - 0.04809658 \\ - 0.01 & - 0.00498308 \\ - 0.001 & - 0.00049983 \\ - 0.0001 & - 0.00004999 \end{array}$

Passaggio 6

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $0$ . Di conseguenza, il limite di $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra è $0$ .

$0$

Passaggio 7

Considera il limite destro.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (e^{x} - x)$

Passaggio 8

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ per $x$ tendente a $0$ da destra.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (e^{x} - x) \\ 0.1 & 0.05140391 \\ 0.01 & 0.00501641 \\ 0.001 & 0.00050016 \\ 0.0001 & 0.00005 \\ 0.00001 & 0.000005 \end{array}$

Passaggio 9

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $0$ . Di conseguenza, il limite di $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ per $x$ tendente a $0$ da destra è $0$ .

$e^{0}$

Passaggio 10

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1$