Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} (2 x + 1) e^{x^{2} + x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2} + x$ . Allora $d u = (2 x + 1) d x$ , quindi $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2} + x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} + x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 1$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x^{2} + x$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 0$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x^{2} + x$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1 + 1$

Passaggio 1.5.2

Somma $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{2} e^{u} d u$

Passaggio 2

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{u}]_{0}^{2}$

Passaggio 3

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.1

Calcola $e^{u}$ per $2$ e per $0$ .

$(e^{2}) - e^{0}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$e^{2} - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{2} - 1$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$e^{2} - 1$

Forma decimale:

$6.38905609 \dots$

Passaggio 5