Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{5}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{3}{x} d x + \int \frac{4}{x^{2}} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Passaggio 4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{4}{x^{2}} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{4}{x^{2}} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Passaggio 6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Passaggio 7

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 7.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Passaggio 7.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 7.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 \int x^{- 2} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - \int \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Passaggio 10

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - (5 \int \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x)$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Converti da $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ a $\csc^{2} (x)$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - (5 \int \csc^{2} (x) d x)$

Passaggio 11.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - 5 \int \csc^{2} (x) d x$

Passaggio 12

Poiché la derivata di $- \cot (x)$ è $\csc^{2} (x)$ , l'integrale di $\csc^{2} (x)$ è $- \cot (x)$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - 5 (- \cot (x) + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Semplifica.

$3 \ln (| x |) - \frac{4}{x} - 5 (- \cot (x)) + C$

Passaggio 13.2

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$3 \ln (| x |) - \frac{4}{x} + 5 \cot (x) + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{5}{\sin^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $3 \ln (| x |) - \frac{4}{x} + 5 \cot (x) + C$