Calcolo Esempi

$\int_{1}^{4} (3 \sqrt{x} - \frac{2}{x}) d x$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int_{1}^{4} 3 \sqrt{x} - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{4} 3 \sqrt{x} d x + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 6

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - \int_{1}^{4} \frac{2}{x} d x$

Passaggio 8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - (2 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 9

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - 2 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{4})$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Calcola $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ per $4$ e per $1$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{4})$

Passaggio 11.1.2

Calcola $\ln (| x |)$ per $4$ e per $1$ .

$3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 11.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 11.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 11.1.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 11.1.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 11.1.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 11.1.3.5

Moltiplica $2$ per $8$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 11.1.3.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 11.1.3.7

Moltiplica $2$ per $1$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 11.1.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 \frac{16 - 2}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 11.1.3.9

Sottrai $2$ da $16$ .

$3 (\frac{14}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 11.1.3.10

$3$ e $\frac{14}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 11.1.3.11

Moltiplica $3$ per $14$ .

$\frac{42}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 11.1.3.12

Elimina il fattore comune di $42$ e $3$ .

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Passaggio 11.1.3.12.1

Scomponi $3$ da $42$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 11.1.3.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.3.12.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3 (1)} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 11.1.3.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 11.1.3.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{14}{1} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 11.1.3.12.2.4

Dividi $14$ per $1$ .

$14 - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 11.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$14 - 2 \ln (\frac{| 4 |}{| 1 |})$

Passaggio 11.3

Semplifica.

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Passaggio 11.3.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $4$ è $4$ .

$14 - 2 \ln (\frac{4}{| 1 |})$

Passaggio 11.3.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$14 - 2 \ln (\frac{4}{1})$

Passaggio 11.3.3

Dividi $4$ per $1$ .

$14 - 2 \ln (4)$

Passaggio 12

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.1

Riscrivi $\ln (4)$ come $\ln (2^{2})$ .

$14 - 2 \ln (2^{2})$

Passaggio 12.2

Espandi $\ln (2^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$14 - 2 (2 \ln (2))$

Passaggio 12.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$14 - 4 \ln (2)$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$14 - 4 \ln (2)$

Forma decimale:

$11.22741127 \dots$

Passaggio 14