Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + x}{4 \sin (2 x) - 3 x}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Passaggio 1.2.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Passaggio 1.2.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Passaggio 1.2.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Passaggio 1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Passaggio 1.2.5.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Passaggio 1.3.2

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 0} \sin (2 x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Passaggio 1.3.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{4 \sin (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Passaggio 1.3.4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{4 \sin (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Passaggio 1.3.5

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{4 \sin (2 lim_{x \to 0} x) - 3 lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.3.6

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{4 \sin (2 \cdot 0) - 3 lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.3.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{4 \sin (2 \cdot 0) - 3 \cdot 0}$

Passaggio 1.3.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0}{4 \sin (0) - 3 \cdot 0}$

Passaggio 1.3.7.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0 - 3 \cdot 0}$

Passaggio 1.3.7.1.3

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{0}{0 - 3 \cdot 0}$

Passaggio 1.3.7.1.4

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 1.3.7.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.7.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.8

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + x}{4 \sin (2 x) - 3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Passaggio 3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 \sin (2 x) - 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Passaggio 3.6

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Passaggio 3.6.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 3.6.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Passaggio 3.6.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Passaggio 3.6.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Passaggio 3.6.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Passaggio 3.6.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Passaggio 3.6.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Passaggio 3.6.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (2 \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Passaggio 3.6.7

Moltiplica $2$ per $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{8 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Passaggio 3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{8 \cos (2 x) - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{8 \cos (2 x) - 3 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{8 \cos (2 x) - 3}$

Passaggio 3.8

Riordina i termini.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{- 3 + 8 \cos (2 x)}$

Passaggio 4

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 6 x + 1}{lim_{x \to 0} - 3 + 8 \cos (2 x)}$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 6 x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 3 + 8 \cos (2 x)}$

Passaggio 6

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 3 + 8 \cos (2 x)}$

Passaggio 7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{lim_{x \to 0} - 3 + 8 \cos (2 x)}$

Passaggio 8

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{- lim_{x \to 0} 3 + lim_{x \to 0} 8 \cos (2 x)}$

Passaggio 9

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to 0} 8 \cos (2 x)}$

Passaggio 10

Sposta il termine $8$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{- 3 + 8 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Passaggio 11

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{- 3 + 8 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Passaggio 12

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{- 3 + 8 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 13

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{6 \cdot 0 + 1}{- 3 + 8 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 13.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{6 \cdot 0 + 1}{- 3 + 8 \cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 14

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Moltiplica $6$ per $0$ .

$\frac{0 + 1}{- 3 + 8 \cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 14.1.2

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{- 3 + 8 \cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 14.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{1}{- 3 + 8 \cos (0)}$

Passaggio 14.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{- 3 + 8 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$\frac{1}{- 3 + 8}$

Passaggio 14.2.4

Somma $- 3$ e $8$ .

$\frac{1}{5}$