Calcolo Esempi

$y = - 2 x^{4} \sqrt{4 x + 5}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 x + 5}$ come ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - 2 x^{4} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{4} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{4} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{4} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (x^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}] + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x + 5$ .

$- 2 (x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x + 5$ .

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(4 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 (x^{4} (\frac{{(4 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.8.3

Sposta ${(4 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.8.4

$\frac{1}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{4}$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5] + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.10

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.12

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.13

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.14

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.14.1

Somma $4$ e $0$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4 + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.14.2

$\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ e $4$ .

$- 2 (\frac{x^{4} \cdot 4}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.14.3

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$- 2 (\frac{4 \cdot x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.14.4

Scomponi $2$ da $4 x^{4}$ .

$- 2 (\frac{2 (2 x^{4})}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.15

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.1

Scomponi $2$ da $2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (\frac{2 (2 x^{4})}{2 ({(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}})} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.15.2

Elimina il fattore comune.

$- 2 (\frac{2 (2 x^{4})}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.15.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 (\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.16

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 2 (\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (4 x^{3}))$

Passaggio 4.17

Sposta $4$ alla sinistra di ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + 4 \cdot {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{3})$

Passaggio 4.18

Combina $\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ e $4 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{3}$ usando un comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.18.1

Sposta ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.18.2

Per scrivere $4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 2 (\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 4.18.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.19

Moltiplica ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.19.1

Sposta ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} ({(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.19.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.19.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.19.4

Somma $1$ e $1$ .

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{2}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.19.5

Dividi $2$ per $2$ .

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{1}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.20

Semplifica $4 x^{3} {(4 x + 5)}^{1}$ .

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} (4 x + 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.21

$- 2$ e $\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} (4 x + 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 (2 x^{4} + 4 x^{3} (4 x + 5))}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.22

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 (2 x^{4} + 4 x^{3} (4 x + 5))}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.23

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.23.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 (2 x^{4} + 4 x^{3} (4 x) + 4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.23.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 (2 x^{4}) + 2 (4 x^{3} (4 x)) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.23.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.23.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.23.3.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{4 x^{4} + 2 (4 x^{3} (4 x)) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.23.3.1.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.23.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$- \frac{4 x^{4} + 2 (4 (x \cdot x^{3}) \cdot 4) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.23.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.23.3.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{4 x^{4} + 2 (4 (x^{1} x^{3}) \cdot 4) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.23.3.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{4 x^{4} + 2 (4 x^{1 + 3} \cdot 4) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.23.3.1.2.3

Somma $1$ e $3$ .

$- \frac{4 x^{4} + 2 (4 x^{4} \cdot 4) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.23.3.1.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$- \frac{4 x^{4} + 2 (16 x^{4}) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.23.3.1.4

Moltiplica $16$ per $2$ .

$- \frac{4 x^{4} + 32 x^{4} + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.23.3.1.5

Moltiplica $5$ per $4$ .

$- \frac{4 x^{4} + 32 x^{4} + 2 (20 x^{3})}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.23.3.1.6

Moltiplica $20$ per $2$ .

$- \frac{4 x^{4} + 32 x^{4} + 40 x^{3}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.23.3.2

Somma $4 x^{4}$ e $32 x^{4}$ .

$- \frac{36 x^{4} + 40 x^{3}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.23.4

Scomponi $4 x^{3}$ da $36 x^{4} + 40 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.23.4.1

Scomponi $4 x^{3}$ da $36 x^{4}$ .

$- \frac{4 x^{3} (9 x) + 40 x^{3}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.23.4.2

Scomponi $4 x^{3}$ da $40 x^{3}$ .

$- \frac{4 x^{3} (9 x) + 4 x^{3} (10)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.23.4.3

Scomponi $4 x^{3}$ da $4 x^{3} (9 x) + 4 x^{3} (10)$ .

$- \frac{4 x^{3} (9 x + 10)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{4 x^{3} (9 x + 10)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x^{3} (9 x + 10)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$