Calcolo Esempi

$y = \tan (5 x)$ , $y = 2 \sin (5 x)$ , $- \frac{π}{15} \leq x \leq \frac{π}{15}$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$

Passaggio 1.2

Risolvi $\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi per $\tan (5 x)$ ciascun termine in $\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Dividi per $\tan (5 x)$ ciascun termine in $\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$ .

$\frac{\tan (5 x)}{\tan (5 x)} = \frac{2 \sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

Passaggio 1.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $\tan (5 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\tan (5 x)}{\tan (5 x)} = \frac{2 \sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

Passaggio 1.2.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{2 \sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

Passaggio 1.2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.3.1

Frazioni separate.

$1 = \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

Passaggio 1.2.1.3.2

Riscrivi $\tan (5 x)$ in termini di seno e coseno.

$1 = \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Passaggio 1.2.1.3.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

$1 = \frac{2}{1} (\sin (5 x) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

Passaggio 1.2.1.3.4

Scrivi $\sin (5 x)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$1 = \frac{2}{1} (\frac{\sin (5 x)}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

Passaggio 1.2.1.3.5

Elimina il fattore comune di $\sin (5 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{2}{1} (\frac{\sin (5 x)}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

Passaggio 1.2.1.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{2}{1} \cos (5 x)$

Passaggio 1.2.1.3.6

Dividi $2$ per $1$ .

$1 = 2 \cos (5 x)$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'equazione come $2 \cos (5 x) = 1$ .

$2 \cos (5 x) = 1$

Passaggio 1.2.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (5 x) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (5 x) = 1$ .

$\frac{2 \cos (5 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (5 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Dividi $\cos (5 x)$ per $1$ .

$\cos (5 x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$5 x = \arccos (\frac{1}{2})$

Passaggio 1.2.5

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$5 x = \frac{π}{3}$

Passaggio 1.2.6

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = \frac{π}{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = \frac{π}{3}$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Passaggio 1.2.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Passaggio 1.2.6.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Passaggio 1.2.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 1.2.6.3.2

Moltiplica $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 5}$

Passaggio 1.2.6.3.2.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$x = \frac{π}{15}$

Passaggio 1.2.7

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$5 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 1.2.8

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$5 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 1.2.8.1.2

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$5 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 1.2.8.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 1.2.8.1.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$5 x = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 1.2.8.1.5

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$5 x = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 1.2.8.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = \frac{5 π}{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = \frac{5 π}{3}$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

Passaggio 1.2.8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

Passaggio 1.2.8.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

Passaggio 1.2.8.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 1.2.8.2.3.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.2.3.2.1

Scomponi $5$ da $5 π$ .

$x = \frac{5 (π)}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 1.2.8.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 1.2.8.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 1.2.9

Trova il periodo di $\cos (5 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.9.2

Sostituisci $b$ con $5$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 5 |}$

Passaggio 1.2.9.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $5$ è $5$ .

$\frac{2 π}{5}$

Passaggio 1.2.10

Il periodo della funzione $\cos (5 x)$ è $\frac{2 π}{5}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{2 π}{5}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}, \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$ .

$y = 2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$ per $x$ in $y = 2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica $2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{15} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Passaggio 1.3.2.2.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.2.1

Scomponi $5$ da $15$ .

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{5 (3)} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Passaggio 1.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{5 \cdot 3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Passaggio 1.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Passaggio 1.3.2.2.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Passaggio 1.3.2.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $\frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$ .

$y = 2 \sin (5 (\frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}))$

Passaggio 1.4.2

Semplifica $2 \sin (5 (\frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Passaggio 1.4.2.2

$5$ e $\frac{π}{3}$ .

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Passaggio 1.4.2.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Passaggio 1.4.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Passaggio 1.5

Elenca tutte le soluzioni.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) d x - \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} \tan (5 x) d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $- \frac{π}{15}$ e $\frac{π}{15}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) - (\tan (5 x)) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\tan (5 x)$ in termini di seno e coseno.

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) - \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)} d x$

Passaggio 3.3

Converti da $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ a $\tan (5 x)$ .

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) - \tan (5 x) d x$

Passaggio 3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) d x + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Passaggio 3.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} \sin (5 x) d x + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Passaggio 3.6

Sia $u_{1} = 5 x$ . Allora $d u_{1} = 5 d x$ , quindi $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Sia $u_{1} = 5 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Differenzia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 3.6.1.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Passaggio 3.6.1.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5$

Passaggio 3.6.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{1} = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 (- \frac{π}{15})$

Passaggio 3.6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{15}$ nel numeratore.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{15}$

Passaggio 3.6.3.1.2

Scomponi $5$ da $15$ .

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 (3)}$

Passaggio 3.6.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = \frac{- π}{3}$

Passaggio 3.6.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

Passaggio 3.6.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{1} = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \frac{π}{15}$

Passaggio 3.6.5

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.5.1

Scomponi $5$ da $15$ .

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 (3)}$

Passaggio 3.6.5.2

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.5.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Passaggio 3.6.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Passaggio 3.6.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Passaggio 3.7

$\sin (u_{1})$ e $\frac{1}{5}$ .

$2 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sin (u_{1})}{5} d u_{1} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Passaggio 3.8

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{5} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Passaggio 3.9

$\frac{1}{5}$ e $2$ .

$\frac{2}{5} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Passaggio 3.10

L'integrale di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Passaggio 3.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} \tan (5 x) d x$

Passaggio 3.12

Sia $u_{2} = 5 x$ . Allora $d u_{2} = 5 d x$ , quindi $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Sia $u_{2} = 5 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1.1

Differenzia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 3.12.1.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.12.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Passaggio 3.12.1.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5$

Passaggio 3.12.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{2} = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 (- \frac{π}{15})$

Passaggio 3.12.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.3.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.3.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{15}$ nel numeratore.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{15}$

Passaggio 3.12.3.1.2

Scomponi $5$ da $15$ .

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 (3)}$

Passaggio 3.12.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 \cdot 3}$

Passaggio 3.12.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = \frac{- π}{3}$

Passaggio 3.12.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

Passaggio 3.12.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{2} = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \frac{π}{15}$

Passaggio 3.12.5

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.5.1

Scomponi $5$ da $15$ .

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 (3)}$

Passaggio 3.12.5.2

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 \cdot 3}$

Passaggio 3.12.5.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Passaggio 3.12.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Passaggio 3.12.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \tan (u_{2}) \frac{1}{5} d u_{2}$

Passaggio 3.13

$\tan (u_{2})$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{\tan (u_{2})}{5} d u_{2}$

Passaggio 3.14

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - (\frac{1}{5} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \tan (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 3.15

L'integrale di $\tan (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| \sec (u_{2}) |)$ .

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{5} \ln (| \sec (u_{2}) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Passaggio 3.16

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.1

Calcola $- \cos (u_{1})$ per $\frac{π}{3}$ e per $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{2}{5} ((- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} \ln (| \sec (u_{2}) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Passaggio 3.16.2

Calcola $\ln (| \sec (u_{2}) |)$ per $\frac{π}{3}$ e per $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{2}{5} ((- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} ((\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |)) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Passaggio 3.16.3

Rimuovi le parentesi.

$\frac{2}{5} (- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Passaggio 3.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Passaggio 3.17.2

Il valore esatto di $\sec (\frac{π}{3})$ è $2$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} (\ln (| 2 |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Passaggio 3.17.3

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})$

Passaggio 3.17.4

$\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Passaggio 3.17.5

Per scrivere $\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3}))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) \cdot \frac{5}{5} - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Passaggio 3.17.6

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3}))$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) \cdot 5}{5} - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Passaggio 3.17.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) \cdot 5 - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Passaggio 3.17.8

$5$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Passaggio 3.17.9

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{\frac{10}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Passaggio 3.17.10

Elimina il fattore comune di $10$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.10.1

Scomponi $5$ da $10$ .

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Passaggio 3.17.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.10.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5 (1)} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Passaggio 3.17.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Passaggio 3.17.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{2}{1} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Passaggio 3.17.10.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Passaggio 3.18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.1.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{5 π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Passaggio 3.18.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Passaggio 3.18.1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Passaggio 3.18.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 \frac{- 1 + 1}{2} - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Passaggio 3.18.3

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{2 (\frac{0}{2}) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Passaggio 3.18.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (\frac{0}{2}) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Passaggio 3.18.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{0 - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Passaggio 3.18.5

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Passaggio 3.18.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.6.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| \sec (\frac{5 π}{3}) |})}{5}$

Passaggio 3.18.6.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| \sec (\frac{π}{3}) |})}{5}$

Passaggio 3.18.6.3

Il valore esatto di $\sec (\frac{π}{3})$ è $2$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| 2 |})}{5}$

Passaggio 3.18.6.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{2})}{5}$

Passaggio 3.18.7

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{0 - \ln (1)}{5}$

Passaggio 3.18.8

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0 - 0}{5}$

Passaggio 3.18.9

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{0 + 0}{5}$

Passaggio 3.18.10

Riduci l'espressione $\frac{0 + 0}{5}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.10.1

Scomponi $5$ da $0$ .

$\frac{5 (0) + 0}{5}$

Passaggio 3.18.10.2

Scomponi $5$ da $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{5}$

Passaggio 3.18.10.3

Scomponi $5$ da $5 \cdot 0 + 5 \cdot 0$ .

$\frac{5 \cdot (0 + 0)}{5}$

Passaggio 3.18.10.4

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{5 \cdot (0 + 0)}{5 (1)}$

Passaggio 3.18.10.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \cdot (0 + 0)}{5 \cdot 1}$

Passaggio 3.18.10.6

Riscrivi l'espressione.

$\frac{0 + 0}{1}$

Passaggio 3.18.11

Dividi $0 + 0$ per $1$ .

$0 + 0$

Passaggio 3.18.12

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 4