Calcolo Esempi

$\ln (3 x) e^{5 x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \ln (3 x)$ e $g (x) = e^{5 x}$ .

$\ln (3 x) \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $5 x$ .

$\ln (3 x) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\ln (3 x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $5 x$ .

$\ln (3 x) (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\ln (3 x) (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\ln (3 x) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Passaggio 3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\ln (3 x) (e^{5 x} \cdot 5) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Passaggio 3.3.2

Sposta $5$ alla sinistra di $e^{5 x}$ .

$\ln (3 x) (5 \cdot e^{5 x}) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + e^{5 x} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 4.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + e^{5 x} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + e^{5 x} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{3 x}$ e $e^{5 x}$ .

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{e^{5 x}}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 5.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{e^{5 x}}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.3.1

$3$ e $\frac{e^{5 x}}{3 x}$ .

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{3 e^{5 x}}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{3 e^{5 x}}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{e^{5 x}}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{e^{5 x}}{x} \cdot 1$

Passaggio 5.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.5.1

Moltiplica $\frac{e^{5 x}}{x}$ per $1$ .

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{e^{5 x}}{x}$

Passaggio 5.5.2

Riordina i termini.

$5 e^{5 x} \ln (3 x) + \frac{e^{5 x}}{x}$