Calcolo Esempi

$f (x) = e^{3 x + 1}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int e^{3 x + 1} d x$

Passaggio 3

Sia $u = 3 x + 1$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = 3 x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 3.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 3.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 3.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 4

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

$\frac{1}{3} e^{u} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x + 1$ .

$\frac{1}{3} e^{3 x + 1} + C$

Passaggio 9

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = e^{3 x + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} e^{3 x + 1} + C$