Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sin (π x)}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Passaggio 1.2.1.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Passaggio 1.2.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Passaggio 1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.3.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 1} π x)}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{\sin (π lim_{x \to 1} x)}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{\sin (π \cdot 1)}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{0}{\sin (π)}$

Passaggio 1.3.3.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{0}{\sin (0)}$

Passaggio 1.3.3.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sin (π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Passaggio 3.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = π x$ .

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Passaggio 3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x]}$

Passaggio 3.6.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (u) \frac{d}{d x} [π x]}$

Passaggio 3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]}$

Passaggio 3.7

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (π x) (π \cdot 1)}$

Passaggio 3.9

Moltiplica $π$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (π x) π}$

Passaggio 3.10

Riordina i fattori di $\cos (π x) π$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{π \cos (π x)}$

Passaggio 4

Sposta il termine $\frac{2}{π}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2}{π} lim_{x \to 1} \frac{x}{\cos (π x)}$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} \cos (π x)}$

Passaggio 6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\cos (lim_{x \to 1} π x)}$

Passaggio 7

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\cos (π lim_{x \to 1} x)}$

Passaggio 8

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 8.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{1}{\cos (π lim_{x \to 1} x)}$

Passaggio 8.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{1}{\cos (π \cdot 1)}$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.1

Converti da $\frac{1}{\cos (π \cdot 1)}$ a $\sec (π \cdot 1)$ .

$\frac{2}{π} \sec (π \cdot 1)$

Passaggio 9.2

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{2}{π} \sec (π)$

Passaggio 9.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la secante è negativa nel secondo quadrante.

$\frac{2}{π} (- \sec (0))$

Passaggio 9.4

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$\frac{2}{π} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 9.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2}{π} \cdot - 1$

Passaggio 9.6

Moltiplica $\frac{2}{π} \cdot - 1$ .

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Passaggio 9.6.1

$\frac{2}{π}$ e $- 1$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{π}$

Passaggio 9.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2}{π}$

Passaggio 9.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{π}$