Calcolo Esempi

$\ln (1 - x)$

Passaggio 1

Scrivi $\ln (1 - x)$ come funzione.

$f (x) = \ln (1 - x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \ln (1 - x) d x$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (1 - x)$ e $d v = 1$ .

$\ln (1 - x) x - \int x (- \frac{1}{1 - x}) d x$

Passaggio 5

$x$ e $\frac{1}{1 - x}$ .

$\ln (1 - x) x - \int - \frac{x}{1 - x} d x$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (1 - x) x - - \int \frac{x}{1 - x} d x$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\ln (1 - x) x + 1 \int \frac{x}{1 - x} d x$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $\int \frac{x}{1 - x} d x$ per $1$ .

$\ln (1 - x) x + \int \frac{x}{1 - x} d x$

Passaggio 7.2

Riordina $1$ e $- x$ .

$\ln (1 - x) x + \int \frac{x}{- x + 1} d x$

Passaggio 8

Dividi $x$ per $- x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Passaggio 8.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $- x$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Passaggio 8.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

Passaggio 8.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x - 1$

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

Passaggio 8.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

Passaggio 8.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\ln (1 - x) x + \int - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (1 - x) x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$\ln (1 - x) x - x + C + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Passaggio 11

Sia $u = - x + 1$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sia $u = - x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 11.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 11.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (1 - x) x - x + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

Passaggio 12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (1 - x) x - x + C + \int - \frac{1}{u} d u$

Passaggio 13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (1 - x) x - x + C - \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 14

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (1 - x) x - x + C - (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 15

Semplifica.

$\ln (1 - x) x - x - \ln (| u |) + C$

Passaggio 16

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x + 1$ .

$\ln (1 - x) x - x - \ln (| - x + 1 |) + C$

Passaggio 17

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \ln (1 - x)$ .

$F (x) =$ $\ln (1 - x) x - x - \ln (| - x + 1 |) + C$