Calcolo Esempi

$y = \frac{\csc^{2} (\frac{x}{2})}{3 x + 4}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \csc^{2} (\frac{x}{2})$ e $g (x) = 3 x + 4$ .

$\frac{(3 x + 4) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (\frac{x}{2})] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \csc (\frac{x}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\csc (\frac{x}{2})$ .

$\frac{(3 x + 4) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (\frac{x}{2})]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(3 x + 4) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (\frac{x}{2})]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\csc (\frac{x}{2})$ .

$\frac{(3 x + 4) (2 \csc (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\csc (\frac{x}{2})]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3

Sposta $2$ alla sinistra di $3 x + 4$ .

$\frac{2 \cdot (3 x + 4) \csc (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\csc (\frac{x}{2})] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2 (3 x + 4) \csc (\frac{x}{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata di $\csc (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$\frac{2 (3 x + 4) \csc (\frac{x}{2}) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2 (3 x + 4) \csc (\frac{x}{2}) (- \csc (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2 (3 x + 4) \csc (\frac{x}{2}) (\csc (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 6

Eleva $\csc (\frac{x}{2})$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (3 x + 4) (\csc^{1} (\frac{x}{2}) \csc (\frac{x}{2})) (\cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 7

Eleva $\csc (\frac{x}{2})$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (3 x + 4) (\csc^{1} (\frac{x}{2}) \csc^{1} (\frac{x}{2})) (\cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 (3 x + 4) {\csc (\frac{x}{2})}^{1 + 1} (\cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 2 (3 x + 4) \csc^{2} (\frac{x}{2}) (\cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 2 (3 x + 4) \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 11

Semplifica i termini.

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Passaggio 11.1

$\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$\frac{\frac{- 2}{2} (3 x + 4) \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 11.2

$\csc^{2} (\frac{x}{2})$ e $\frac{- 2}{2}$ .

$\frac{\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot - 2}{2} (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 11.3

$\cot (\frac{x}{2})$ e $\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot - 2}{2}$ .

$\frac{\frac{\cot (\frac{x}{2}) (\csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot - 2)}{2} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 11.4

Sposta $- 2$ alla sinistra di $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\frac{\cot (\frac{x}{2}) (- 2 \cdot \csc^{2} (\frac{x}{2}))}{2} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 11.5

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 11.5.1

Scomponi $2$ da $\cot (\frac{x}{2}) (- 2 \csc^{2} (\frac{x}{2}))$ .

$\frac{\frac{2 (\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2})))}{2} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 11.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 11.5.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{\frac{2 (\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2})))}{2 (1)} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 11.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{2 (\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2})))}{2 \cdot 1} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 11.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2}))}{1} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 11.5.2.4

Dividi $\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2}))$ per $1$ .

$\frac{\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2})) (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2})) (3 x + 4) \cdot 1 - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 13

Moltiplica $\cot (\frac{x}{2})$ per $1$ .

$\frac{(- \csc^{2} (\frac{x}{2})) (3 x + 4) \cdot \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 14

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 15

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 16

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 17

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 + \frac{d}{d x} [4])}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 18

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 + 0)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 19

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 19.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 19.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 20

Semplifica.

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Passaggio 20.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 4) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 20.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 4 \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 20.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 20.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 20.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 1 \cdot 3 \csc^{2} (\frac{x}{2}) x \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 4 \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 20.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{- 3 \csc^{2} (\frac{x}{2}) x \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 4 \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 20.3.1.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{- 3 \csc^{2} (\frac{x}{2}) x \cot (\frac{x}{2}) - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 20.3.2

Riordina i fattori in $- 3 \csc^{2} (\frac{x}{2}) x \cot (\frac{x}{2}) - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\frac{- 3 x \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 20.4

Scomponi $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ da $- 3 x \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.4.1

Scomponi $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ da $- 3 x \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2})) - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 20.4.2

Scomponi $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ da $- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2})) + \csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 4 \cot (\frac{x}{2})) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 20.4.3

Scomponi $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ da $- 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2})) + \csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 4 \cot (\frac{x}{2})) + \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot - 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 20.4.4

Scomponi $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ da $\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2})) + \csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 4 \cot (\frac{x}{2}))$ .

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2}) - 4 \cot (\frac{x}{2})) + \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot - 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 20.4.5

Scomponi $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ da $\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2}) - 4 \cot (\frac{x}{2})) + \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot - 3$ .

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2}) - 4 \cot (\frac{x}{2}) - 3)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 20.5

Scomponi $- 1$ da $- 3 x \cot (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- (3 x \cot (\frac{x}{2})) - 4 \cot (\frac{x}{2}) - 3)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 20.6

Scomponi $- 1$ da $- 4 \cot (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- (3 x \cot (\frac{x}{2})) - (4 \cot (\frac{x}{2})) - 3)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 20.7

Scomponi $- 1$ da $- (3 x \cot (\frac{x}{2})) - (4 \cot (\frac{x}{2}))$ .

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2})) - 3)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 20.8

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2})) - 1 (3))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 20.9

Scomponi $- 1$ da $- (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2})) - 1 (3)$ .

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2}) + 3))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 20.10

Riscrivi $- (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2}) + 3)$ come $- 1 (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2}) + 3)$ .

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 1 (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2}) + 3))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 20.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2}) + 3)}{{(3 x + 4)}^{2}}$