Calcolo Esempi

$\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi $x$ da $2 x^{4} + 4 x^{3} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $x$ da $2 x^{4}$ .

$\int \frac{x (2 x^{3}) + 4 x^{3} - x}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $x$ da $4 x^{3}$ .

$\int \frac{x (2 x^{3}) + x (4 x^{2}) - x}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $x$ da $- x$ .

$\int \frac{x (2 x^{3}) + x (4 x^{2}) + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.1.4

Scomponi $x$ da $x (2 x^{3}) + x (4 x^{2})$ .

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2}) + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.1.5

Scomponi $x$ da $x (2 x^{3} + 4 x^{2}) + x \cdot - 1$ .

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 5

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 5.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

Passaggio 6

Espandi $(2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2}) x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int 2 x^{3} x^{- 2} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 2 x^{3 - 2} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.4

Sottrai $2$ da $3$ .

$\int 2 x^{1} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.5

Semplifica.

$\int 2 x + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 2 x + 4 x^{2 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.7

Sottrai $2$ da $2$ .

$\int 2 x + 4 x^{0} - 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.8

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\int 2 x + 4 \cdot 1 - 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.9

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\int 2 x + 4 - 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.10

Sposta $4$ .

$\int 2 x - 1 x^{- 2} + 4 d x$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Passaggio 8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Passaggio 11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + \int 4 d x$

Passaggio 12

Applica la regola costante.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + 4 x + C$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + 4 x + C$

Passaggio 13.2

Semplifica.

$x^{2} + \frac{1}{x} + 4 x + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $x^{2} + \frac{1}{x} + 4 x + C$