Calcolo Esempi

$\ln (e^{x} + x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = e^{x} + x$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $e^{x} + x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{x} + x$ .

$\frac{1}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)$ .

$(e^{x} + 1) \frac{1}{e^{x} + x}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $e^{x} + 1$ per $\frac{1}{e^{x} + x}$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$