Calcolo Esempi

$e^{y} = \frac{x^{2}}{y}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{y})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$e^{y} y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{y (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{2 \cdot y x - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riordina i termini.

$\frac{2 x y - x^{2} y'}{y^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $x$ da $2 x y - x^{2} y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Scomponi $x$ da $2 x y$ .

$\frac{x (2 y) - x^{2} y'}{y^{2}}$

Passaggio 3.4.2.2

Scomponi $x$ da $- x^{2} y'$ .

$\frac{x (2 y) + x (- x y')}{y^{2}}$

Passaggio 3.4.2.3

Scomponi $x$ da $x (2 y) + x (- x y')$ .

$\frac{x (2 y - x y')}{y^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$e^{y} y' = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica ogni lato per $y^{2}$ .

$e^{y} y' y^{2} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Riordina i fattori in $e^{y} y' y^{2}$ .

$y' y^{2} e^{y} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $\frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' y^{2} e^{y} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' y^{2} e^{y} = x (2 y - x y')$

Passaggio 5.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' y^{2} e^{y} = x (2 y) + x (- x y')$

Passaggio 5.2.2.1.3

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y + x (- x y')$

Passaggio 5.2.2.1.3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - x (x y')$

Passaggio 5.2.2.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.4.1

Sposta $x$ .

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - (x \cdot x) y'$

Passaggio 5.2.2.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - x^{2} y'$

Passaggio 5.2.2.1.5

Sposta $x^{2}$ .

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - y' x^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.6

Riordina $2 x y$ e $- y' x^{2}$ .

$y' y^{2} e^{y} = - y' x^{2} + 2 x y$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Somma $y' x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y' y^{2} e^{y} + y' x^{2} = 2 x y$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y'$ da $y' y^{2} e^{y} + y' x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $y'$ da $y' y^{2} e^{y}$ .

$y' (y^{2} e^{y}) + y' (x^{2}) = 2 x y$

Passaggio 5.3.2.2

Scomponi $y'$ da $y' x^{2}$ .

$y' (y^{2} e^{y}) + y' (x^{2}) = 2 x y$

Passaggio 5.3.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (y^{2} e^{y}) + y' (x^{2})$ .

$y' (y^{2} e^{y} + x^{2}) = 2 x y$

Passaggio 5.3.3

Dividi per $y^{2} e^{y} + x^{2}$ ciascun termine in $y' (y^{2} e^{y} + x^{2}) = 2 x y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi per $y^{2} e^{y} + x^{2}$ ciascun termine in $y' (y^{2} e^{y} + x^{2}) = 2 x y$ .

$\frac{y' (y^{2} e^{y} + x^{2})}{y^{2} e^{y} + x^{2}} = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $y^{2} e^{y} + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (y^{2} e^{y} + x^{2})}{y^{2} e^{y} + x^{2}} = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$