Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{42 - 3 x}}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{42 - 3 x}} d x$

Passaggio 3

Sia $u = 42 - 3 x$ . Allora $d u = - 3 d x$ , quindi $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u = 42 - 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $42 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [42 - 3 x]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $42 - 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [42] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [42] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 3.1.2.2

Poiché $42$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $42$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 3.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Passaggio 3.1.3.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$0 - 3$

Passaggio 3.1.4

Sottrai $3$ da $0$ .

$- 3$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{3}) d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Passaggio 4.3

Sposta $3$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$\int - \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Passaggio 7

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 7.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 7.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 7.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 7.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi $- \frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ come $- \frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{3}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 9.2.2

$- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 9.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $42 - 3 x$ .

$- \frac{2}{3} {(42 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{\sqrt{42 - 3 x}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{3} {(42 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + C$