Calcolo Esempi

$\int \frac{2 x + 4}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 1

Dividi la frazione $\frac{2 x + 4}{x^{2} + 9}$ in due frazioni.

$\int \frac{2 x}{x^{2} + 9} + \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{2 x}{x^{2} + 9} d x + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{x}{x^{2} + 9} d x + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 4

Sia $u = x^{2} + 9$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = x^{2} + 9$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 4.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 7.3

Moltiplica $\int \frac{1}{u} d u$ per $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 9

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 10.1

Riordina $x^{2}$ e $9$ .

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{9 + x^{2}} d x$

Passaggio 10.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x$

Passaggio 11

L'integrale di $\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C$ .

$\ln (| u |) + C + 4 (\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

$\frac{1}{3}$ e $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$\ln (| u |) + C + 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C)$

Passaggio 12.2

Semplifica.

$\ln (| u |) + \frac{4 \arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 9$ .

$\ln (| x^{2} + 9 |) + \frac{4 \arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Passaggio 14

Riordina i termini.

$\ln (| x^{2} + 9 |) + \frac{4}{3} \arctan (\frac{1}{3} x) + C$