Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{2 x}}$

Passaggio 1.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{2 x}}$

Passaggio 1.1.3

Poiché l'esponente $2 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{2 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{2 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]}$

Passaggio 1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{2 x} (2 \cdot 1)}$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{2 x} \cdot 2}$

Passaggio 1.3.7

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 e^{2 x}}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 e^{2 x}}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2 x}}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{2 x}}$

Passaggio 2.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{2 x}}$

Passaggio 2.1.3

Poiché l'esponente $2 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{2 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]}$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2 x} (2 \cdot 1)}$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2 x} \cdot 2}$

Passaggio 2.3.7

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 e^{2 x}}$

Passaggio 3

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2 x}}$

Passaggio 4

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{e^{2 x}}$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Passaggio 5

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$0$