Calcolo Esempi

$\ln (x^{2} - x)$

Passaggio 1

Scrivi $\ln (x^{2} - x)$ come funzione.

$f (x) = \ln (x^{2} - x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \ln (x^{2} - x) d x$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x^{2} - x)$ e $d v = 1$ .

$\ln (x^{2} - x) x - \int x \frac{2 x - 1}{x (x - 1)} d x$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$x$ e $\frac{2 x - 1}{x (x - 1)}$ .

$\ln (x^{2} - x) x - \int \frac{x (2 x - 1)}{x (x - 1)} d x$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (x^{2} - x) x - \int \frac{x (2 x - 1)}{x (x - 1)} d x$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (x^{2} - x) x - \int \frac{2 x - 1}{x - 1} d x$

Passaggio 6

Dividi $2 x - 1$ per $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$2 x$

$1$

Passaggio 6.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$2$
	$x$	-	$1$		$2 x$	-	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2$
$x$	-	$1$		$2 x$	-	$1$
			+	$2 x$	-	$2$

Passaggio 6.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x - 2$

				$2$
$x$	-	$1$		$2 x$	-	$1$
			-	$2 x$	+	$2$

Passaggio 6.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2$
$x$	-	$1$		$2 x$	-	$1$
			-	$2 x$	+	$2$
					+	$1$

Passaggio 6.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\ln (x^{2} - x) x - \int 2 + \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (x^{2} - x) x - (\int 2 d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$\ln (x^{2} - x) x - (2 x + C + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Passaggio 9

Sia $u = x - 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 9.1

Sia $u = x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 9.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 9.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 9.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 9.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (x^{2} - x) x - (2 x + C + \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (x^{2} - x) x - (2 x + C + \ln (| u |) + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

$\ln (x^{2} - x) x - 2 x - \ln (| u |) + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$\ln (x^{2} - x) x - 2 x - \ln (| x - 1 |) + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \ln (x^{2} - x)$ .

$F (x) =$ $\ln (x^{2} - x) x - 2 x - \ln (| x - 1 |) + C$