Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Passaggio 1

Riscrivi ${(x + 1)}^{2}$ come $(x + 1) (x + 1)$ .

$\int \frac{x^{3}}{(x + 1) (x + 1)} d x$

Passaggio 2

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{x^{3}}{x (x + 1) + 1 (x + 1)} d x$

Passaggio 3

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)} d x$

Passaggio 4

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Passaggio 5

Riordina $x$ e $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x \cdot x + 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Passaggio 6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{1} x + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Passaggio 7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{1} x^{1} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Passaggio 8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{x^{3}}{x^{1 + 1} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Passaggio 9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Somma $1$ e $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Passaggio 9.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Passaggio 9.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1} d x$

Passaggio 9.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + x + x + 1} d x$

Passaggio 10

Somma $x$ e $x$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Passaggio 11

Dividi $x^{3}$ per $x^{2} + 2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 11.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 11.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Passaggio 11.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 2 x^{2} + x$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Passaggio 11.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

Passaggio 11.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

Passaggio 11.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

Passaggio 11.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$2 x^{2}$	-	$x$	+	$0$
							-	$2 x^{2}$	-	$4 x$	-	$2$

Passaggio 11.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{2} - 4 x - 2$

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

Passaggio 11.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

$3 x$

$2$

Passaggio 11.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int x - 2 + \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Passaggio 12

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x d x + \int - 2 d x + \int \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Passaggio 13

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x + \int \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Passaggio 14

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Passaggio 15

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

Passaggio 15.1.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 15.1.1.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Passaggio 15.1.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{3 x + 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 15.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 15.1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Passaggio 15.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(3 x + 2) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Passaggio 15.1.5

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(3 x + 2) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Passaggio 15.1.5.2

Dividi $3 x + 2$ per $1$ .

$3 x + 2 = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Passaggio 15.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.6.1

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 x + 2 = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Passaggio 15.1.6.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$3 x + 2 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Passaggio 15.1.6.2

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ e $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.6.2.1

Scomponi $x + 1$ da $(B) {(x + 1)}^{2}$ .

$3 x + 2 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 15.1.6.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.6.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$3 x + 2 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Passaggio 15.1.6.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 x + 2 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Passaggio 15.1.6.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 x + 2 = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

Passaggio 15.1.6.2.2.4

Dividi $B (x + 1)$ per $1$ .

$3 x + 2 = A + B (x + 1)$

Passaggio 15.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x + 2 = A + B x + B \cdot 1$

Passaggio 15.1.6.4

Moltiplica $B$ per $1$ .

$3 x + 2 = A + B x + B$

Passaggio 15.1.7

Riordina $A$ e $B x$ .

$3 x + 2 = B x + A + B$

Passaggio 15.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$3 = B$

Passaggio 15.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$2 = A + B$

Passaggio 15.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$3 = B$

$2 = A + B$

$3 = B$

$2 = A + B$

Passaggio 15.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Riscrivi l'equazione come $B = 3$ .

$B = 3$

$2 = A + B$

Passaggio 15.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $3$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $2 = A + B$ con $3$ .

$2 = A + 3$

$B = 3$

Passaggio 15.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$2 = A + 3$

$B = 3$

$2 = A + 3$

$B = 3$

$2 = A + 3$

$B = 3$

Passaggio 15.3.3

Risolvi per $A$ in $2 = A + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $A + 3 = 2$ .

$A + 3 = 2$

$B = 3$

Passaggio 15.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.3.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 2 - 3$

$B = 3$

Passaggio 15.3.3.2.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$A = - 1$

$B = 3$

$A = - 1$

$B = 3$

$A = - 1$

$B = 3$

Passaggio 15.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$A = - 1 B = 3$

Passaggio 15.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = - 1, B = 3$

Passaggio 15.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{- 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{3}{x + 1}$

Passaggio 15.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{3}{x + 1} d x$

Passaggio 16

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Passaggio 17

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Passaggio 18

Sia $u_{1} = x + 1$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Sia $u_{1} = x + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 18.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 18.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 18.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 18.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 18.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Passaggio 19

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sposta ${u_{1}}^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Passaggio 19.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Passaggio 19.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Passaggio 20

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{1}}^{- 2}$ rispetto a $u_{1}$ è $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Passaggio 21

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 22

Sia $u_{2} = x + 1$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1

Sia $u_{2} = x + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 22.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 22.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 22.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 22.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 22.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 23

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 24

Semplifica.

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{u_{1}} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 25

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{x + 1} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 25.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{x + 1} + 3 \ln (| x + 1 |) + C$

Passaggio 26

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + \frac{1}{x + 1} + 3 \ln (| x + 1 |) + C$