Calcolo Esempi

$\int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{9}{x \sqrt{4 x^{2} - 4}} d x$

Passaggio 1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$9 \int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} - 4}} d x$

Passaggio 2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $4 x^{2}$ come ${(2 x)}^{2}$ .

$9 \int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 4}} d x$

Passaggio 2.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$9 \int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 2^{2}}} d x$

Passaggio 3

L'integrale di $\frac{1}{x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 2^{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} arcsec (| \frac{2 x}{2} |)$ .

$9 (\frac{1}{2} arcsec (| \frac{2 x}{2} |)]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Semplifica.

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Passaggio 4.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$9 (\frac{1}{2} arcsec (| \frac{2 x}{2} |)]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Passaggio 4.1.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$9 (\frac{1}{2} arcsec (| x |)]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Passaggio 4.1.2

$\frac{1}{2}$ e $arcsec (| x |)$ .

$9 (\frac{arcsec (| x |)}{2}]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{arcsec (| x |)}{2}$ per $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ e per $- 2$ .

$9 (\frac{arcsec (| - \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{2} - \frac{arcsec (| - 2 |)}{2})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$9 \frac{arcsec (| - \frac{2 \sqrt{3}}{3} |) - arcsec (| - 2 |)}{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ corrisponde approssimativamente a $- 1.15470053$ , che è un valore negativo, perciò rendi negativo $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ed elimina il valore assoluto

$9 \frac{arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - arcsec (| - 2 |)}{2}$

Passaggio 5.2.2

Il valore esatto di $arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ è $\frac{π}{6}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - arcsec (| - 2 |)}{2}$

Passaggio 5.2.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 2$ e $0$ è $2$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - arcsec (2)}{2}$

Passaggio 5.2.4

Il valore esatto di $arcsec (2)$ è $\frac{π}{3}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π}{3}}{2}$

Passaggio 5.3

Per scrivere $- \frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}}{2}$

Passaggio 5.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 5.4.1

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}}{2}$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}}{2}$

Passaggio 5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$9 \frac{\frac{π - π \cdot 2}{6}}{2}$

Passaggio 5.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.6.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$9 \frac{\frac{π - 2 π}{6}}{2}$

Passaggio 5.6.2

Sottrai $2 π$ da $π$ .

$9 \frac{\frac{- π}{6}}{2}$

Passaggio 5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$9 \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 5.8

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$9 (- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 5.9

Moltiplica $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 5.9.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{π}{6}$ .

$9 (- \frac{π}{2 \cdot 6})$

Passaggio 5.9.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$9 (- \frac{π}{12})$

Passaggio 5.10

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.10.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{12}$ nel numeratore.

$9 \frac{- π}{12}$

Passaggio 5.10.2

Scomponi $3$ da $9$ .

$3 (3) \frac{- π}{12}$

Passaggio 5.10.3

Scomponi $3$ da $12$ .

$3 \cdot 3 \frac{- π}{3 \cdot 4}$

Passaggio 5.10.4

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 3 \frac{- π}{3 \cdot 4}$

Passaggio 5.10.5

Riscrivi l'espressione.

$3 \frac{- π}{4}$

Passaggio 5.11

$3$ e $\frac{- π}{4}$ .

$\frac{3 (- π)}{4}$

Passaggio 5.12

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{- 3 π}{4}$

Passaggio 5.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 π}{4}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{3 π}{4}$

Forma decimale:

$- 2.35619449 \dots$

Passaggio 7