Calcolo Esempi

$y = 9 x^{\frac{5}{2}} - 7 x^{\frac{3}{2}}$ , $x = 4$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{\frac{5}{2}} - 7 x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{5}{2}}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{\frac{5}{2}}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{2}$ .

$9 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$9 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$9 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$9 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.7

$\frac{5}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$9 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.8

$9$ e $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{9 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.9

Moltiplica $5$ per $9$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Passaggio 3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 3.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Passaggio 3.6.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3.7

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 3.8

$- 7$ e $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 7 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Passaggio 3.9

Moltiplica $3$ per $- 7$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 21 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{21 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 4

Calcola la derivata per $x = 4$ .

$\frac{45 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{45 {(4)}^{\frac{3}{2}} - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{45 {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 5.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{45 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 5.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{45 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 5.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{45 \cdot 2^{3} - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 5.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{45 \cdot 8 - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica $45$ per $8$ .

$\frac{360 - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 5.2.6

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{360 - 21 {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 5.2.7

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{360 - 21 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Passaggio 5.2.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{360 - 21 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Passaggio 5.2.8.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{360 - 21 \cdot 2^{1}}{2}$

Passaggio 5.2.9

Calcola l'esponente.

$\frac{360 - 21 \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.2.10

Moltiplica $- 21$ per $2$ .

$\frac{360 - 42}{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.1

Sottrai $42$ da $360$ .

$\frac{318}{2}$

Passaggio 5.3.2

Dividi $318$ per $2$ .

$159$