Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{2} \tan (2 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

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Passaggio 1.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2} \cdot \tan (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{2} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

$\sec^{2} (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.3.3.1

$2$ e $\frac{\sec^{2} (2 x)}{2}$ .

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3.2.2

Dividi $\sec^{2} (2 x)$ per $1$ .

$\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sec^{2} (2 x) \cdot 1$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $\sec^{2} (2 x)$ per $1$ .

$\sec^{2} (2 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (2 x)$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sec (2 x)$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sec (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\frac{d}{d u (2)} (\sec (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sec (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.3

Eleva $\sec (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.4

Eleva $\sec (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 2 {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.6

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.8

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \cdot 1$

Passaggio 2.10

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\sec^{2} (2 x) = 0$

Passaggio 4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sec (2 x) = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 5

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\sec (2 x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 5.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\sec (2 x) = \pm 0$

Passaggio 5.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$\sec (2 x) = 0$

Passaggio 6

L'intervallo della secante è $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Poiché $0$ non rientra nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 7

Calcola la derivata seconda per $x =$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$4 \sec^{2} (2) \tan (2)$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 8.1

Calcola $\sec (2)$ .

$4 \cdot {1.00060954}^{2} \tan (2)$

Passaggio 8.2

Eleva $1.00060954$ alla potenza di $2$ .

$4 \cdot 1.00121946 \tan (2)$

Passaggio 8.3

Moltiplica $4$ per $1.00121946$ .

$4.00487784 \tan (2)$

Passaggio 8.4

Calcola $\tan (2)$ .

$4.00487784 \cdot 0.03492076$

Passaggio 8.5

Moltiplica $4.00487784$ per $0.03492076$ .

$0.13985341$

Passaggio 9

$x =$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x =$ è un minimo locale

Passaggio 10

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \tan (2 x)$ .

$(, i s a (l o c a l) (m i n i m u m))$ è un minimo locale

Passaggio 11