Calcolo Esempi

$lim_{x \to - \infty} \sqrt{x^{2} + x + 1} + x$

Passaggio 1

Moltiplica per razionalizzare il numeratore.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + x + 1} + x) (\sqrt{x^{2} + x + 1} - x)}{\sqrt{x^{2} + x + 1} - x}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Espandi il numeratore usando il metodo FOIL.

$lim_{x \to - \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + x + 1}}^{2} + \sqrt{x^{2} + x + 1} (- x) + \sqrt{x^{2} + x + 1} x - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + x + 1} - x}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + 0}{\sqrt{x^{2} + x + 1} - x}$

Passaggio 2.2.2

Somma $x + 1$ e $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + x + 1} - x}$

Passaggio 3

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - \frac{x}{x}}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - \frac{x}{x}}$

Passaggio 4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - \frac{x}{x}}$

Passaggio 4.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Passaggio 4.2.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

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Passaggio 4.2.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{x^{1}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{x \cdot 1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Passaggio 4.2.2.2.3

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.2.2.2.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Passaggio 4.2.2.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Passaggio 4.2.2.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Passaggio 4.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Passaggio 4.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Passaggio 4.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Passaggio 5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{1 + 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Passaggio 6

Calcola il limite.

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Passaggio 6.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{1 + 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Passaggio 6.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Passaggio 6.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Passaggio 6.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Passaggio 7

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{1 + 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Passaggio 8

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{2}}$ tende a $0$ .

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{1 + 0 + 0} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Passaggio 9

Calcola il limite.

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Passaggio 9.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{1 + 0 + 0} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 9.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.2.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1 + 0 + 0} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 9.2.2.1

Somma $1 + 0$ e $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1 + 0} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 9.2.2.2

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 9.2.2.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 9.2.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{- 1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 9.2.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{- 1 - 1}$

Passaggio 9.2.2.6

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$\frac{1}{- 2}$

Passaggio 9.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimale:

$- 0.5$