Calcolo Esempi

$f (x) = \sin (x) - \cos (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - - \sin (x)$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\cos (x) + 1 \sin (x)$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\cos (x) + \sin (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (x) + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Passaggio 2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \cos (x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Passaggio 4

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 6

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 7

Frazioni separate.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 8

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 9

Dividi $0$ per $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Passaggio 10

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Passaggio 11

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (x) = - 1$

Passaggio 12

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- 1)$

Passaggio 13

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 13.1

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 14

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Passaggio 15

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 15.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 15.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{4}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 16

La soluzione dell'equazione $x = - \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{π}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \sin (- \frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 18

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 18.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- \sin (\frac{7 π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 18.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 18.1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 18.1.4

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 18.1.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 18.1.5

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{7 π}{4})$

Passaggio 18.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 18.1.7

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 18.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 18.2.2

Somma $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 18.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 18.2.3.2

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

$\sqrt{2}$

Passaggio 19

$x = - \frac{π}{4}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{π}{4}$ è un minimo locale

Passaggio 20

Trova il valore di y quando $x = - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{π}{4}$ nell'espressione.

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (- \frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 20.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (\frac{7 π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 20.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (- \frac{π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 20.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 20.2.1.4

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{7 π}{4})$

Passaggio 20.2.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 20.2.1.6

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 20.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 20.2.2.2

Sottrai $\sqrt{2}$ da $- \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 20.2.2.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.2.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Passaggio 20.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Passaggio 20.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 20.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Passaggio 20.2.2.3.2.4

Dividi $- \sqrt{2}$ per $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \sqrt{2}$

Passaggio 20.2.3

La risposta finale è $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Passaggio 21

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{3 π}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 22

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 22.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 22.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 22.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 22.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 22.2.2

Sottrai $\sqrt{2}$ da $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 22.2.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Passaggio 22.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Passaggio 22.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 22.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Passaggio 22.2.3.2.4

Dividi $- \sqrt{2}$ per $1$ .

$- \sqrt{2}$

Passaggio 23

$x = \frac{3 π}{4}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{3 π}{4}$ è un massimo locale

Passaggio 24

Trova il valore di y quando $x = \frac{3 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 24.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 24.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 24.2.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 24.2.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 24.2.1.5

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 24.2.1.5.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 24.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 24.2.2.2

Somma $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 24.2.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 24.2.2.3.2

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2}$

Passaggio 24.2.3

La risposta finale è $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Passaggio 25

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ .

$(- \frac{π}{4}, - \sqrt{2})$ è un minimo locale

$(\frac{3 π}{4}, \sqrt{2})$ è un massimo locale

Passaggio 26