Calcolo Esempi

$\int 20 x^{3} \sec (5 x^{4} - 1) \tan (5 x^{4} - 1) d x$

Passaggio 1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , sposta $20$ fuori dall'integrale.

$20 \int x^{3} \sec (5 x^{4} - 1) \tan (5 x^{4} - 1) d x$

Passaggio 2

Sia $u = 5 x^{4} - 1$ . Allora $d u = 20 x^{3} d x$ , quindi $\frac{1}{20} d u = x^{3} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 5 x^{4} - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $5 x^{4} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} - 1]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{4} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$20 x^{3} + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $20 x^{3}$ e $0$ .

$20 x^{3}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$20 \int \sec (u) \tan (u) \frac{1}{20} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{20}$ e $\sec (u)$ .

$20 \int \frac{\sec (u)}{20} \tan (u) d u$

Passaggio 3.2

$\frac{\sec (u)}{20}$ e $\tan (u)$ .

$20 \int \frac{\sec (u) \tan (u)}{20} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{20}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{20}$ fuori dall'integrale.

$20 (\frac{1}{20} \int \sec (u) \tan (u) d u)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{20}$ e $20$ .

$\frac{20}{20} \int \sec (u) \tan (u) d u$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $20$ .

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{20}{20} \int \sec (u) \tan (u) d u$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \sec (u) \tan (u) d u$

Passaggio 5.3

Moltiplica $\int \sec (u) \tan (u) d u$ per $1$ .

$\int \sec (u) \tan (u) d u$

Passaggio 6

Poiché la derivata di $\sec (u)$ è $\sec (u) \tan (u)$ , l'integrale di $\sec (u) \tan (u)$ è $\sec (u)$ .

$\sec (u) + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x^{4} - 1$ .

$\sec (5 x^{4} - 1) + C$