Calcolo Esempi

$f (x) = x^{5} - 4 x^{3} + x^{2} + 2$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} - 4 x^{3} + x^{2} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x + 0$

Passaggio 1.3.3

Somma $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$ e $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 12$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + 2 \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + 2 \cdot 1$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + 2$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} - 4 x^{3} + x^{2} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.1.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x + 0$

Passaggio 4.1.3.3

Somma $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x = 0$

Passaggio 5.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx - 1.62662472, 0, 0.16866593, 1.45795878$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 1.62662472, 0, 0.16866593, 1.45795878$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 1.62662472$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$20 {(- 1.62662472)}^{3} - 24 \cdot - 1.62662472 + 2$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Eleva $- 1.62662472$ alla potenza di $3$ .

$20 \cdot - 4.30389932 - 24 \cdot - 1.62662472 + 2$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $20$ per $- 4.30389932$ .

$- 86.07798657 - 24 \cdot - 1.62662472 + 2$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 24$ per $- 1.62662472$ .

$- 86.07798657 + 39.03899328 + 2$

Passaggio 9.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $- 86.07798657$ e $39.03899328$ .

$- 47.03899328 + 2$

Passaggio 9.2.2

Somma $- 47.03899328$ e $2$ .

$- 45.03899328$

Passaggio 10

$x = - 1.62662472$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1.62662472$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - 1.62662472$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.62662472$ nell'espressione.

$f (- 1.62662472) = {(- 1.62662472)}^{5} - 4 {(- 1.62662472)}^{3} + {(- 1.62662472)}^{2} + 2$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Eleva $- 1.62662472$ alla potenza di $5$ .

$f (- 1.62662472) = - 11.38772158 - 4 {(- 1.62662472)}^{3} + {(- 1.62662472)}^{2} + 2$

Passaggio 11.2.1.2

Eleva $- 1.62662472$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1.62662472) = - 11.38772158 - 4 \cdot - 4.30389932 + {(- 1.62662472)}^{2} + 2$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 4.30389932$ .

$f (- 1.62662472) = - 11.38772158 + 17.21559731 + {(- 1.62662472)}^{2} + 2$

Passaggio 11.2.1.4

Eleva $- 1.62662472$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1.62662472) = - 11.38772158 + 17.21559731 + 2.64590798 + 2$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $- 11.38772158$ e $17.21559731$ .

$f (- 1.62662472) = 5.82787573 + 2.64590798 + 2$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $5.82787573$ e $2.64590798$ .

$f (- 1.62662472) = 8.47378371 + 2$

Passaggio 11.2.2.3

Somma $8.47378371$ e $2$ .

$f (- 1.62662472) = 10.47378371$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $10.47378371$ .

$y = 10.47378371$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$20 {(0)}^{3} - 24 \cdot 0 + 2$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$20 \cdot 0 - 24 \cdot 0 + 2$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $20$ per $0$ .

$0 - 24 \cdot 0 + 2$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $- 24$ per $0$ .

$0 + 0 + 2$

Passaggio 13.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 2$

Passaggio 13.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$2$

Passaggio 14

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{5} - 4 {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 2$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 2$

Passaggio 15.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + {(0)}^{2} + 2$

Passaggio 15.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + {(0)}^{2} + 2$

Passaggio 15.2.1.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 2$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

Passaggio 15.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Passaggio 15.2.2.3

Somma $0$ e $2$ .

$f (0) = 2$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = 0.16866593$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$20 {(0.16866593)}^{3} - 24 \cdot 0.16866593 + 2$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Eleva $0.16866593$ alla potenza di $3$ .

$20 \cdot 0.00479824 - 24 \cdot 0.16866593 + 2$

Passaggio 17.1.2

Moltiplica $20$ per $0.00479824$ .

$0.09596483 - 24 \cdot 0.16866593 + 2$

Passaggio 17.1.3

Moltiplica $- 24$ per $0.16866593$ .

$0.09596483 - 4.0479824 + 2$

Passaggio 17.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Sottrai $4.0479824$ da $0.09596483$ .

$- 3.95201757 + 2$

Passaggio 17.2.2

Somma $- 3.95201757$ e $2$ .

$- 1.95201757$

Passaggio 18

$x = 0.16866593$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0.16866593$ è un massimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = 0.16866593$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.16866593$ nell'espressione.

$f (0.16866593) = {(0.16866593)}^{5} - 4 {(0.16866593)}^{3} + {(0.16866593)}^{2} + 2$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Eleva $0.16866593$ alla potenza di $5$ .

$f (0.16866593) = 0.0001365 - 4 {(0.16866593)}^{3} + {(0.16866593)}^{2} + 2$

Passaggio 19.2.1.2

Eleva $0.16866593$ alla potenza di $3$ .

$f (0.16866593) = 0.0001365 - 4 \cdot 0.00479824 + {(0.16866593)}^{2} + 2$

Passaggio 19.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $0.00479824$ .

$f (0.16866593) = 0.0001365 - 0.01919296 + {(0.16866593)}^{2} + 2$

Passaggio 19.2.1.4

Eleva $0.16866593$ alla potenza di $2$ .

$f (0.16866593) = 0.0001365 - 0.01919296 + 0.02844819 + 2$

Passaggio 19.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.1

Sottrai $0.01919296$ da $0.0001365$ .

$f (0.16866593) = - 0.01905646 + 0.02844819 + 2$

Passaggio 19.2.2.2

Somma $- 0.01905646$ e $0.02844819$ .

$f (0.16866593) = 0.00939173 + 2$

Passaggio 19.2.2.3

Somma $0.00939173$ e $2$ .

$f (0.16866593) = 2.00939173$

Passaggio 19.2.3

La risposta finale è $2.00939173$ .

$y = 2.00939173$

Passaggio 20

Calcola la derivata seconda per $x = 1.45795878$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$20 {(1.45795878)}^{3} - 24 \cdot 1.45795878 + 2$

Passaggio 21

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.1.1

Eleva $1.45795878$ alla potenza di $3$ .

$20 \cdot 3.09910108 - 24 \cdot 1.45795878 + 2$

Passaggio 21.1.2

Moltiplica $20$ per $3.09910108$ .

$61.98202173 - 24 \cdot 1.45795878 + 2$

Passaggio 21.1.3

Moltiplica $- 24$ per $1.45795878$ .

$61.98202173 - 34.99101086 + 2$

Passaggio 21.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.2.1

Sottrai $34.99101086$ da $61.98202173$ .

$26.99101087 + 2$

Passaggio 21.2.2

Somma $26.99101087$ e $2$ .

$28.99101087$

Passaggio 22

$x = 1.45795878$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1.45795878$ è un minimo locale

Passaggio 23

Trova il valore di y quando $x = 1.45795878$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.45795878$ nell'espressione.

$f (1.45795878) = {(1.45795878)}^{5} - 4 {(1.45795878)}^{3} + {(1.45795878)}^{2} + 2$

Passaggio 23.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.1.1

Eleva $1.45795878$ alla potenza di $5$ .

$f (1.45795878) = 6.58758507 - 4 {(1.45795878)}^{3} + {(1.45795878)}^{2} + 2$

Passaggio 23.2.1.2

Eleva $1.45795878$ alla potenza di $3$ .

$f (1.45795878) = 6.58758507 - 4 \cdot 3.09910108 + {(1.45795878)}^{2} + 2$

Passaggio 23.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $3.09910108$ .

$f (1.45795878) = 6.58758507 - 12.39640434 + {(1.45795878)}^{2} + 2$

Passaggio 23.2.1.4

Eleva $1.45795878$ alla potenza di $2$ .

$f (1.45795878) = 6.58758507 - 12.39640434 + 2.12564382 + 2$

Passaggio 23.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.2.1

Sottrai $12.39640434$ da $6.58758507$ .

$f (1.45795878) = - 5.80881926 + 2.12564382 + 2$

Passaggio 23.2.2.2

Somma $- 5.80881926$ e $2.12564382$ .

$f (1.45795878) = - 3.68317544 + 2$

Passaggio 23.2.2.3

Somma $- 3.68317544$ e $2$ .

$f (1.45795878) = - 1.68317544$

Passaggio 23.2.3

La risposta finale è $- 1.68317544$ .

$y = - 1.68317544$

Passaggio 24

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{5} - 4 x^{3} + x^{2} + 2$ .

$(- 1.62662472, 10.47378371)$ è un massimo locale

$(0, 2)$ è un minimo locale

$(0.16866593, 2.00939173)$ è un massimo locale

$(1.45795878, - 1.68317544)$ è un minimo locale

Passaggio 25