Calcolo Esempi

$\int 2 \sqrt{x} \sqrt{1 + {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Passaggio 1.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Passaggio 1.3

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Passaggio 1.3.2

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Passaggio 1.3.3

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}})}^{2}) x} d x$

Passaggio 1.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})}^{2}) x} d x$

Passaggio 1.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})}^{2}) x} d x$

Passaggio 1.3.6

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

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Passaggio 1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}) x} d x$

Passaggio 1.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}) x} d x$

Passaggio 1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

Passaggio 1.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

Passaggio 1.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{1}})}^{2}) x} d x$

Passaggio 1.3.6.5

Semplifica.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x})}^{2}) x} d x$

Passaggio 1.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{x}}{x}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Passaggio 1.5

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

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Passaggio 1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Passaggio 1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}) x} d x$

Passaggio 1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

Passaggio 1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

Passaggio 1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

Passaggio 1.5.5

Semplifica.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x}{x^{2}}) x} d x$

Passaggio 1.6

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

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Passaggio 1.6.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

Passaggio 1.6.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 1}{x^{2}}) x} d x$

Passaggio 1.6.3

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.6.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}) x} d x$

Passaggio 1.6.3.2

Elimina il fattore comune.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}) x} d x$

Passaggio 1.6.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{1}{x}) x} d x$

Passaggio 1.7

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int 2 \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{1}{x}) x} d x$

Passaggio 1.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int 2 \sqrt{\frac{x + 1}{x} x} d x$

Passaggio 1.9

$\frac{x + 1}{x}$ e $x$ .

$\int 2 \sqrt{\frac{(x + 1) x}{x}} d x$

Passaggio 1.10

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.10.1

Elimina il fattore comune.

$\int 2 \sqrt{\frac{(x + 1) x}{x}} d x$

Passaggio 1.10.2

Dividi $x + 1$ per $1$ .

$\int 2 \sqrt{x + 1} d x$

Passaggio 2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \sqrt{x + 1} d x$

Passaggio 3

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 3.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ come $2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

$2$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$\frac{4}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$