Calcolo Esempi

$y = \ln (2 t^{4} e^{- t})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = 2 t^{4} e^{- t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 t^{4} e^{- t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t^{4} e^{- t}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 t^{4} e^{- t}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 t^{4} e^{- t}$ .

$\frac{1}{2 t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [2 t^{4} e^{- t}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t^{4} e^{- t}$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$ .

$\frac{1}{2 t^{4} e^{- t}} (2 \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}])$

Passaggio 2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

$2$ e $\frac{1}{2 t^{4} e^{- t}}$ .

$\frac{2}{2 t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2 t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t^{4}$ e $g (t) = e^{- t}$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} \frac{d}{d t} [e^{- t}] + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- t$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- t$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Passaggio 5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} (- 1 \cdot 1)) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Passaggio 5.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} \cdot - 1) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Passaggio 5.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- t}$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- 1 \cdot e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- t}$ come $- e^{- t}$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Passaggio 5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- e^{- t}) + e^{- t} (4 t^{3}))$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- e^{- t})) + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Passaggio 6.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

$t^{4}$ e $\frac{1}{t^{4} e^{- t}}$ .

$\frac{t^{4}}{t^{4} e^{- t}} (- e^{- t}) + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Passaggio 6.2.2

$\frac{t^{4}}{t^{4} e^{- t}}$ e $e^{- t}$ .

$- \frac{t^{4} e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune di $t^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{t^{4} e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Passaggio 6.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Passaggio 6.2.4

Elimina il fattore comune di $e^{- t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Passaggio 6.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot 1 + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Passaggio 6.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Passaggio 6.2.6

$e^{- t}$ e $\frac{1}{t^{4} e^{- t}}$ .

$- 1 + \frac{e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} (4 t^{3})$

Passaggio 6.2.7

$4$ e $\frac{e^{- t}}{t^{4} e^{- t}}$ .

$- 1 + \frac{4 e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} t^{3}$

Passaggio 6.2.8

$\frac{4 e^{- t}}{t^{4} e^{- t}}$ e $t^{3}$ .

$- 1 + \frac{4 e^{- t} t^{3}}{t^{4} e^{- t}}$

Passaggio 6.2.9

Elimina il fattore comune di $e^{- t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.9.1

Elimina il fattore comune.

$- 1 + \frac{4 e^{- t} t^{3}}{t^{4} e^{- t}}$

Passaggio 6.2.9.2

Riscrivi l'espressione.

$- 1 + \frac{4 t^{3}}{t^{4}}$

Passaggio 6.2.10

Elimina il fattore comune di $t^{3}$ e $t^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.10.1

Scomponi $t^{3}$ da $4 t^{3}$ .

$- 1 + \frac{t^{3} \cdot 4}{t^{4}}$

Passaggio 6.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.10.2.1

Scomponi $t^{3}$ da $t^{4}$ .

$- 1 + \frac{t^{3} \cdot 4}{t^{3} t}$

Passaggio 6.2.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 1 + \frac{t^{3} \cdot 4}{t^{3} t}$

Passaggio 6.2.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 + \frac{4}{t}$

Passaggio 6.3

Riordina i termini.

$\frac{4}{t} - 1$