Calcolo Esempi

$\frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}} d x$

Passaggio 4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int \frac{1}{{(2 - 8 x)}^{3}} d x$

Passaggio 5

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Scomponi $2$ da $2 - 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{{(2 (1) - 8 x)}^{3}}$

Passaggio 5.1.1.1.2

Scomponi $2$ da $- 8 x$ .

$\frac{1}{{(2 (1) + 2 (- 4 x))}^{3}}$

Passaggio 5.1.1.1.3

Scomponi $2$ da $2 (1) + 2 (- 4 x)$ .

$\frac{1}{{(2 (1 - 4 x))}^{3}}$

Passaggio 5.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $2 (1 - 4 x)$ .

$\frac{1}{2^{3} {(1 - 4 x)}^{3}}$

Passaggio 5.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}}$

Passaggio 5.1.3

$\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4

$\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{C}{1 - 4 x}$

Passaggio 5.1.5

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $2^{3} {(1 - 4 x)}^{3}$ .

$\frac{1 (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{2^{3} {(1 - 4 x)}^{3}} = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Passaggio 5.1.6

Elimina il fattore comune di $2^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 ({(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Passaggio 5.1.7

Elimina il fattore comune di ${(1 - 4 x)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 {(1 - 4 x)}^{3}}{{(1 - 4 x)}^{3}} = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Passaggio 5.1.7.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Passaggio 5.1.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.1

Elimina il fattore comune di ${(1 - 4 x)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Passaggio 5.1.8.1.2

Dividi $(A) \cdot (2^{3})$ per $1$ .

$1 = (A) \cdot (2^{3}) + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Passaggio 5.1.8.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$1 = A \cdot 8 + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Passaggio 5.1.8.3

Sposta $8$ alla sinistra di $A$ .

$1 = 8 \cdot A + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Passaggio 5.1.8.4

Elimina il fattore comune di ${(1 - 4 x)}^{3}$ e ${(1 - 4 x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.4.1

Scomponi ${(1 - 4 x)}^{2}$ da $(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})$ .

$1 = 8 A + \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (B (2^{3} (1 - 4 x)))}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Passaggio 5.1.8.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.4.2.1

Moltiplica per $1$ .

$1 = 8 A + \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (B (2^{3} (1 - 4 x)))}{{(1 - 4 x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Passaggio 5.1.8.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$1 = 8 A + \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (B (2^{3} (1 - 4 x)))}{{(1 - 4 x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Passaggio 5.1.8.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$1 = 8 A + \frac{B (2^{3} (1 - 4 x))}{1} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Passaggio 5.1.8.4.2.4

Dividi $B (2^{3} (1 - 4 x))$ per $1$ .

$1 = 8 A + B (2^{3} (1 - 4 x)) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Passaggio 5.1.8.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = 8 A + 2^{3} B (1 - 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Passaggio 5.1.8.6

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$1 = 8 A + 8 B (1 - 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Passaggio 5.1.8.7

Applica la proprietà distributiva.

$1 = 8 A + 8 B \cdot 1 + 8 B (- 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Passaggio 5.1.8.8

Moltiplica $8$ per $1$ .

$1 = 8 A + 8 B + 8 B (- 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Passaggio 5.1.8.9

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = 8 A + 8 B + 8 \cdot (- 4 B x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Passaggio 5.1.8.10

Moltiplica $8$ per $- 4$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Passaggio 5.1.8.11

Elimina il fattore comune di ${(1 - 4 x)}^{3}$ e $1 - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.11.1

Scomponi $1 - 4 x$ da $(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(1 - 4 x) (C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2}))}{1 - 4 x}$

Passaggio 5.1.8.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.11.2.1

Moltiplica per $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(1 - 4 x) (C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2}))}{(1 - 4 x) \cdot 1}$

Passaggio 5.1.8.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(1 - 4 x) (C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2}))}{(1 - 4 x) \cdot 1}$

Passaggio 5.1.8.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2})}{1}$

Passaggio 5.1.8.11.2.4

Dividi $C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2})$ per $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2})$

Passaggio 5.1.8.12

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 2^{3} C {(1 - 4 x)}^{2}$

Passaggio 5.1.8.13

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C {(1 - 4 x)}^{2}$

Passaggio 5.1.8.14

Riscrivi ${(1 - 4 x)}^{2}$ come $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C ((1 - 4 x) (1 - 4 x))$

Passaggio 5.1.8.15

Espandi $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.15.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 (1 - 4 x) - 4 x (1 - 4 x))$

Passaggio 5.1.8.15.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 \cdot 1 + 1 (- 4 x) - 4 x (1 - 4 x))$

Passaggio 5.1.8.15.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 \cdot 1 + 1 (- 4 x) - 4 x \cdot 1 - 4 x (- 4 x))$

Passaggio 5.1.8.16

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.16.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.16.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 + 1 (- 4 x) - 4 x \cdot 1 - 4 x (- 4 x))$

Passaggio 5.1.8.16.1.2

Moltiplica $- 4 x$ per $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x \cdot 1 - 4 x (- 4 x))$

Passaggio 5.1.8.16.1.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 x (- 4 x))$

Passaggio 5.1.8.16.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot (- 4 x \cdot x))$

Passaggio 5.1.8.16.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.16.1.5.1

Sposta $x$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot (- 4 (x \cdot x)))$

Passaggio 5.1.8.16.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot (- 4 x^{2}))$

Passaggio 5.1.8.16.1.6

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x + 16 x^{2})$

Passaggio 5.1.8.16.2

Sottrai $4 x$ da $- 4 x$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 8 x + 16 x^{2})$

Passaggio 5.1.8.17

Applica la proprietà distributiva.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C \cdot 1 + 8 C (- 8 x) + 8 C (16 x^{2})$

Passaggio 5.1.8.18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.18.1

Moltiplica $8$ per $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C + 8 C (- 8 x) + 8 C (16 x^{2})$

Passaggio 5.1.8.18.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C + 8 \cdot (- 8 C x) + 8 C (16 x^{2})$

Passaggio 5.1.8.18.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C + 8 \cdot (- 8 C x) + 8 \cdot (16 C x^{2})$

Passaggio 5.1.8.19

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.19.1

Moltiplica $8$ per $- 8$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C - 64 C x + 8 \cdot (16 C x^{2})$

Passaggio 5.1.8.19.2

Moltiplica $8$ per $16$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C - 64 C x + 128 C x^{2}$

Passaggio 5.1.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.9.1

Sposta $B$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 x B + 8 C - 64 C x + 128 C x^{2}$

Passaggio 5.1.9.2

Sposta $8 C$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 x B - 64 C x + 128 C x^{2} + 8 C$

Passaggio 5.1.9.3

Sposta $8 B$ .

$1 = 8 A - 32 x B - 64 C x + 128 C x^{2} + 8 B + 8 C$

Passaggio 5.1.9.4

Sposta $8 A$ .

$1 = - 32 x B - 64 C x + 128 C x^{2} + 8 A + 8 B + 8 C$

Passaggio 5.1.9.5

Sposta $- 64 C x$ .

$1 = - 32 x B + 128 C x^{2} - 64 C x + 8 A + 8 B + 8 C$

Passaggio 5.1.9.6

Riordina $- 32 x B$ e $128 C x^{2}$ .

$1 = 128 C x^{2} - 32 x B - 64 C x + 8 A + 8 B + 8 C$

Passaggio 5.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = 128 C$

Passaggio 5.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = - 32 B - 64 C$

Passaggio 5.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Passaggio 5.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = 128 C$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$0 = 128 C$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Passaggio 5.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Risolvi per $C$ in $0 = 128 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $128 C = 0$ .

$128 C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Passaggio 5.3.1.2

Dividi per $128$ ciascun termine in $128 C = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Dividi per $128$ ciascun termine in $128 C = 0$ .

$\frac{128 C}{128} = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Passaggio 5.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $128$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{128 C}{128} = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Passaggio 5.3.1.2.2.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Passaggio 5.3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.3.1

Dividi $0$ per $128$ .

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Passaggio 5.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $0$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $0 = - 32 B - 64 C$ con $0$ .

$0 = - 32 B - 64 \cdot 0$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Semplifica $- 32 B - 64 \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1

Moltiplica $- 64$ per $0$ .

$0 = - 32 B + 0$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Passaggio 5.3.2.2.1.2

Somma $- 32 B$ e $0$ .

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Passaggio 5.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $1 = 8 A + 8 B + 8 C$ con $0$ .

$1 = 8 A + 8 B + 8 (0)$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

Passaggio 5.3.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Semplifica $8 A + 8 B + 8 (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1.1

Moltiplica $8$ per $0$ .

$1 = 8 A + 8 B + 0$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

Passaggio 5.3.2.4.1.2

Somma $8 A + 8 B$ e $0$ .

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

Passaggio 5.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = - 32 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 32 B = 0$ .

$- 32 B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Passaggio 5.3.3.2

Dividi per $- 32$ ciascun termine in $- 32 B = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Dividi per $- 32$ ciascun termine in $- 32 B = 0$ .

$\frac{- 32 B}{- 32} = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Passaggio 5.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 32 B}{- 32} = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Passaggio 5.3.3.2.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Passaggio 5.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.3.1

Dividi $0$ per $- 32$ .

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Passaggio 5.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $0$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $1 = 8 A + 8 B$ con $0$ .

$1 = 8 A + 8 (0)$

$B = 0$

$C = 0$

Passaggio 5.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Semplifica $8 A + 8 (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1.1

Moltiplica $8$ per $0$ .

$1 = 8 A + 0$

$B = 0$

$C = 0$

Passaggio 5.3.4.2.1.2

Somma $8 A$ e $0$ .

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

Passaggio 5.3.5

Risolvi per $A$ in $1 = 8 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Riscrivi l'equazione come $8 A = 1$ .

$8 A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Passaggio 5.3.5.2

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 A = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 A = 1$ .

$\frac{8 A}{8} = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

Passaggio 5.3.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 A}{8} = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

Passaggio 5.3.5.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

Passaggio 5.3.6

Risolvi il sistema di equazioni.

$A = \frac{1}{8} B = 0 C = 0$

Passaggio 5.3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$A = \frac{1}{8}, B = 0, C = 0$

Passaggio 5.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{C}{1 - 4 x}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{\frac{1}{8}}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Passaggio 5.5.2

Combina.

$\frac{1 \cdot 1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Passaggio 5.5.3

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Passaggio 5.5.4

Dividi $0$ per ${(1 - 4 x)}^{2}$ .

$\frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + 0 + \frac{0}{1 - 4 x}$

Passaggio 5.5.5

Dividi $0$ per $1 - 4 x$ .

$\frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + 0 + 0$

Passaggio 5.5.6

Rimuovi lo zero dall'espressione.

$5 \int \frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$5 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{{(1 - 4 x)}^{3}} d x)$

Passaggio 7

$\frac{1}{8}$ e $5$ .

$\frac{5}{8} \int \frac{1}{{(1 - 4 x)}^{3}} d x$

Passaggio 8

Sia $u = 1 - 4 x$ . Allora $d u = - 4 d x$ , quindi $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u = 1 - 4 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $1 - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x]$

Passaggio 8.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 8.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 8.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Passaggio 8.1.3.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$0 - 4$

Passaggio 8.1.4

Sottrai $4$ da $0$ .

$- 4$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{5}{8} \int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{5}{8} \int \frac{1}{u^{3}} (- \frac{1}{4}) d u$

Passaggio 9.2

Moltiplica $\frac{1}{u^{3}}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{8} \int - \frac{1}{u^{3} \cdot 4} d u$

Passaggio 9.3

Sposta $4$ alla sinistra di $u^{3}$ .

$\frac{5}{8} \int - \frac{1}{4 u^{3}} d u$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{5}{8} (- \int \frac{1}{4 u^{3}} d u)$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{5}{8} (- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{3}} d u))$

Passaggio 12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Moltiplica $\frac{5}{8}$ per $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{5}{8 \cdot 4} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Passaggio 12.1.2

Moltiplica $8$ per $4$ .

$- \frac{5}{32} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Passaggio 12.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Sposta $u^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{5}{32} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Passaggio 12.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{32} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Passaggio 12.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \frac{5}{32} \int u^{- 3} d u$

Passaggio 13

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- 3}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Riscrivi $- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ come $- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ .

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

Passaggio 14.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

Passaggio 14.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u^{2}$ .

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

Passaggio 14.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{5}{32}) \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Passaggio 14.2.4

Moltiplica $\frac{5}{32}$ per $1$ .

$\frac{5}{32} \cdot \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Passaggio 14.2.5

Moltiplica $\frac{5}{32}$ per $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$\frac{5}{32 (2 u^{2})} + C$

Passaggio 14.2.6

Moltiplica $2$ per $32$ .

$\frac{5}{64 u^{2}} + C$

Passaggio 15

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - 4 x$ .

$\frac{5}{64 {(1 - 4 x)}^{2}} + C$

Passaggio 16

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{64 {(1 - 4 x)}^{2}} + C$