Calcolo Esempi

$y = x^{2} e^{x} - x e^{x}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x} - x e^{x})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} e^{x} - x e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x e^{x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x e^{x} + e^{x})$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x e^{x}) - e^{x}$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.4.2.1

Sottrai $x e^{x}$ da $e^{x} (2 x)$ .

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Passaggio 3.4.2.1.1

Sposta $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - x e^{x} - e^{x}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Sottrai $x e^{x}$ da $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 1 x e^{x} - e^{x}$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x}$

Passaggio 3.4.3

Riordina i termini.

$e^{x} x^{2} + e^{x} x - e^{x}$

Passaggio 3.4.4

Riordina i fattori in $e^{x} x^{2} + e^{x} x - e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x}$