Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1} \frac{5 - 5 x^{2}}{4 \tan (3 x - 3)}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 1} 5 - 5 x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 5 - lim_{x \to 1} 5 x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Passaggio 1.2.1.2

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{5 - lim_{x \to 1} 5 x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Passaggio 1.2.1.3

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{5 - 5 lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Passaggio 1.2.1.4

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{5 - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{5 - 5 \cdot 1^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{5 - 5 \cdot 1}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Passaggio 1.2.3.2

Sottrai $5$ da $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.3.1.1

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 1} \tan (3 x - 3)}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{0}{4 \tan (lim_{x \to 1} 3 x - 3)}$

Passaggio 1.3.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{4 \tan (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 3)}$

Passaggio 1.3.1.4

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{4 \tan (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 3)}$

Passaggio 1.3.1.5

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{4 \tan (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3)}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{4 \tan (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.3.1.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{0}{4 \tan (3 - 1 \cdot 3)}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{0}{4 \tan (3 - 3)}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $3$ da $3$ .

$\frac{0}{4 \tan (0)}$

Passaggio 1.3.3.3

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0}$

Passaggio 1.3.3.4

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1} \frac{5 - 5 x^{2}}{4 \tan (3 x - 3)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [5 - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [5 - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - 5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Passaggio 3.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Passaggio 3.4.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 5 (2 x)}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 10 x}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Passaggio 3.5

Sottrai $10 x$ da $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Passaggio 3.6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \tan (3 x - 3)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\tan (3 x - 3)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \frac{d}{d x} [\tan (3 x - 3)]}$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 3 x - 3$ .

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Passaggio 3.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x - 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 3])}$

Passaggio 3.7.2

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x - 3])}$

Passaggio 3.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x - 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 (\sec^{2} (3 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x - 3])}$

Passaggio 3.8

Rimuovi le parentesi.

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x - 3]}$

Passaggio 3.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Passaggio 3.10

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Passaggio 3.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Passaggio 3.12

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Passaggio 3.13

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 + 0)}$

Passaggio 3.14

Somma $3$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) \cdot 3}$

Passaggio 3.15

Moltiplica $3$ per $4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{12 \sec^{2} (3 x - 3)}$

Passaggio 4

Elimina il fattore comune di $- 10$ e $12$ .

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Passaggio 4.1

Scomponi $2$ da $- 10 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (- 5 x)}{12 \sec^{2} (3 x - 3)}$

Passaggio 4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $2$ da $12 \sec^{2} (3 x - 3)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (- 5 x)}{2 (6 \sec^{2} (3 x - 3))}$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (- 5 x)}{2 (6 \sec^{2} (3 x - 3))}$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 1} \frac{- 5 x}{6 \sec^{2} (3 x - 3)}$

Passaggio 5

Sposta il termine $\frac{- 5}{6}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- 5}{6} lim_{x \to 1} \frac{x}{\sec^{2} (3 x - 3)}$

Passaggio 6

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} \sec^{2} (3 x - 3)}$

Passaggio 7

Sposta l'esponente $2$ da $\sec^{2} (3 x - 3)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{{(lim_{x \to 1} \sec (3 x - 3))}^{2}}$

Passaggio 8

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (lim_{x \to 1} 3 x - 3)}$

Passaggio 9

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 3)}$

Passaggio 10

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 3)}$

Passaggio 11

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3)}$

Passaggio 12

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 12.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3)}$

Passaggio 12.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

Passaggio 13

Semplifica la risposta.

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Passaggio 13.1

Combina.

$\frac{- 5 \cdot 1}{6 \sec^{2} (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

Passaggio 13.2

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

Passaggio 13.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 13.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 13.3.1.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (3 - 1 \cdot 3)}$

Passaggio 13.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (3 - 3)}$

Passaggio 13.3.2

Sottrai $3$ da $3$ .

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (0)}$

Passaggio 13.3.3

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$\frac{- 5}{6 \cdot 1^{2}}$

Passaggio 13.3.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{- 5}{6 \cdot 1}$

Passaggio 13.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{- 5}{6}$

Passaggio 13.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5}{6}$