Calcolo Esempi

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Passaggio 4

Sia $x = \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ è positivo.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 5.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 5.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $\sec (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $\sec (t)$ da $\tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $\sec (t)$ da $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 5.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 5.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{\tan (t)} \sec (t) d t$

Passaggio 5.2.2

$\frac{1}{\tan (t)}$ e $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

Passaggio 5.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Riscrivi $\tan (t)$ in termini di seno e coseno.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Passaggio 5.2.3.2

Riscrivi $\sec (t)$ in termini di seno e coseno.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Passaggio 5.2.3.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Passaggio 5.2.3.4

Elimina il fattore comune di $\cos (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Passaggio 5.2.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Passaggio 5.2.3.5

Converti da $\frac{1}{\sin (t)}$ a $\csc (t)$ .

$\int \csc (t) d t$

Passaggio 6

L'integrale di $\csc (t)$ rispetto a $t$ è $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arctan (x)$ .

$\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + C$

Passaggio 8

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + C$