Calcolo Esempi

$lim_{x \to 6} \frac{2 \sqrt{6} \sqrt{x} - 12}{x - 6}$

Passaggio 1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$lim_{x \to 6} \frac{2 \sqrt{x \cdot 6} - 12}{x - 6}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 6} 2 \sqrt{x \cdot 6} - 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $6$ .

$\frac{lim_{x \to 6} 2 \sqrt{x \cdot 6} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 6} \sqrt{x \cdot 6} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Passaggio 2.1.2.1.3

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{2 \sqrt{lim_{x \to 6} x \cdot 6} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Passaggio 2.1.2.1.4

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 \sqrt{6 lim_{x \to 6} x} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Passaggio 2.1.2.1.5

Calcola il limite di $12$ che è costante, mentre $x$ tende a $6$ .

$\frac{2 \sqrt{6 lim_{x \to 6} x} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $6$ per $x$ .

$\frac{2 \sqrt{6 \cdot 6} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.2.3.1.1

Moltiplica $6$ per $6$ .

$\frac{2 \sqrt{36} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Passaggio 2.1.2.3.1.2

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{6^{2}} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Passaggio 2.1.2.3.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{2 \cdot 6 - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Passaggio 2.1.2.3.1.4

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{12 - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Passaggio 2.1.2.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$\frac{12 - 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Sottrai $12$ da $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 6}$

Passaggio 2.1.3.1.2

Calcola il limite di $6$ che è costante, mentre $x$ tende a $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6}$

Passaggio 2.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $6$ per $x$ .

$\frac{0}{6 - 1 \cdot 6}$

Passaggio 2.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{0}{6 - 6}$

Passaggio 2.1.3.3.2

Sottrai $6$ da $6$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 6} \frac{2 \sqrt{x \cdot 6} - 12}{x - 6} = lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6} - 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6} - 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \sqrt{x \cdot 6} - 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 2.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6}]$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $x$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{6 \cdot x}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 2.3.3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6 x}$ come ${(6 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 {(6 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 2.3.3.3

Scomponi $6$ da $6 x$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 {(6 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 2.3.3.4

Applica la regola del prodotto a $6 (x)$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 (6^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 2.3.3.5

Poiché $2 \cdot 6^{\frac{1}{2}}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 2.3.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 2.3.3.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 2.3.3.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 2.3.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 2.3.3.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.3.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 2.3.3.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 2.3.3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 2.3.3.12

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 2.3.3.13

$2$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{6^{\frac{1}{2}} \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 2.3.3.14

$6^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}} (2 x^{- \frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 2.3.3.15

Sposta $2$ alla sinistra di $6^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 2.3.3.16

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 2.3.3.17

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 2.3.3.18

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 2.3.5

Somma $\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Passaggio 2.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Passaggio 2.3.8

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Passaggio 2.3.9

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Passaggio 2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 6} \frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 2.5

Converti gli esponenti frazionari in radicali.

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Passaggio 2.5.1

Riscrivi $6^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{6}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{6}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 2.5.2

Riscrivi $x^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{x}} \cdot 1$

Passaggio 2.6

Moltiplica $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{x}}$ per $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{x}}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Sposta il termine $\sqrt{6}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\sqrt{6} lim_{x \to 6} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Passaggio 3.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $6$ .

$\sqrt{6} \frac{lim_{x \to 6} 1}{lim_{x \to 6} \sqrt{x}}$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $6$ .

$\sqrt{6} \frac{1}{lim_{x \to 6} \sqrt{x}}$

Passaggio 3.4

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\sqrt{6} \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 6} x}}$

Passaggio 4

Calcola il limite di $x$ inserendo $6$ per $x$ .

$\sqrt{6} \frac{1}{\sqrt{6}}$

Passaggio 5

Elimina il fattore comune di $\sqrt{6}$ .

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Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{6} \frac{1}{\sqrt{6}}$

Passaggio 5.2

Riscrivi l'espressione.

$1$