Calcolo Esempi

$\frac{\sin^{2} (x)}{1 + \cos (x)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \sin^{2} (x)$ e $g (x) = 1 + \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3

Sposta $2$ alla sinistra di $1 + \cos (x)$ .

$\frac{2 \cdot (1 + \cos (x)) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 5.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 5.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 6

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7

Moltiplica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) + 1 \sin^{2} (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 8

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $\sin (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $\sin (x)$ .

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Passaggio 8.1.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin^{1} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 8.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) + {\sin (x)}^{2 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 8.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 \cos (x)) \sin (x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 9.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 \cdot 1 \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x)) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 9.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 9.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.4.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 9.4.2

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\frac{\sin (2 x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 9.4.3

Riordina $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) + \sin (x) (2 \cos (x)) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 9.4.4

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$\frac{\sin (2 x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 9.4.5

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 9.5

Riordina i termini.

$\frac{\cos (x) \sin (2 x) + \sin (2 x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$