Calcolo Esempi

$y = \sec (x) + \tan (x)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sec (x) + \tan (x))$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sec (x) + \tan (x)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\sec (x)] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$ .

$\frac{d}{d y} [\sec (x)] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d y} [\sec (x)]$ .

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Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \sec (y)$ e $g (y) = x$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Passaggio 3.2.1.2

La derivata di $\sec (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Passaggio 3.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x$ .

$\sec (x) \tan (x) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\tan (x)]$ .

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Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \tan (y)$ e $g (y) = x$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.3.1.2

La derivata di $\tan (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = \sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x'$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x' = 1$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x' = 1$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1

Riordina i fattori in $\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x'$ .

$x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec^{2} (x) = 1$

Passaggio 5.3

Scomponi $x' \sec (x)$ da $x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec^{2} (x)$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $x' \sec (x)$ da $x' \sec^{2} (x)$ .

$x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec (x) \sec (x) = 1$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $x' \sec (x)$ da $x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec (x) \sec (x)$ .

$x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) = 1$

Passaggio 5.4

Dividi per $\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))$ ciascun termine in $x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) = 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))$ ciascun termine in $x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) = 1$ .

$\frac{x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $\sec (x)$ .

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Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x' (\tan (x) + \sec (x))}{\tan (x) + \sec (x)} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $\tan (x) + \sec (x)$ .

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Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (\tan (x) + \sec (x))}{\tan (x) + \sec (x)} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.4.3.1

Frazioni separate.

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Passaggio 5.4.3.2

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Passaggio 5.4.3.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} (1 \cos (x))$

Passaggio 5.4.3.4

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} \cos (x)$

Passaggio 5.4.3.5

$\frac{1}{\tan (x) + \sec (x)}$ e $\cos (x)$ .

$x' = \frac{\cos (x)}{\tan (x) + \sec (x)}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{\cos (x)}{\tan (x) + \sec (x)}$