Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) e^{\sin (2 x)} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \sin (2 x)$ . Allora $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \sin (2 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{lower} = \sin (2 \cdot 0)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Passaggio 1.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{4})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.5.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Passaggio 1.5.1.2

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 1.5.1.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.5.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{1} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 2

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{1}$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.1

Calcola $e^{u_{2}}$ per $1$ e per $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{1}) - e^{0})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica.

$\frac{1}{2} (e - e^{0})$

Passaggio 5.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{2} (e - 1 \cdot 1)$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (e - 1)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} e + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Passaggio 6.2

$\frac{1}{2}$ e $e$ .

$\frac{e}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Passaggio 6.3

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{e}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 6.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

Forma decimale:

$0.85914091 \dots$