Calcolo Esempi

$y = \frac{x + 1}{x}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x + 1}{x})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.4.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x - (x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x - (x + 1)}{x^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $1 \cdot 1$ da $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2}}$