Calcolo Esempi

$y = x^{2} {(2 x^{3} - 1)}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(2 x^{3} - 1)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} - 1)}^{3}] + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 2 x^{3} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x^{3} - 1$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x^{3} - 1$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (6 x^{2} + 0)) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Somma $6 x^{2}$ e $0$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (6 x^{2})) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $6$ per $3$ .

$x^{2} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2} x^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta $x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2 + 2} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.3

Somma $2$ e $2$ .

$x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} (2 x)$

Passaggio 6

Sposta $2$ alla sinistra di ${(2 x^{3} - 1)}^{3}$ .

$x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + 2 \cdot {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Scomponi $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ da $x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + 2 {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$ .

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Passaggio 7.1.1

Scomponi $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ da $x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2})$ .

$x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9)) + 2 {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ da $2 {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$ .

$x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9)) + x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.1.3

Scomponi $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ da $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9)) + x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 x^{3} - 1)$ .

$x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9) + 2 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.2.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$2 \cdot x {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9) + 2 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.2.2

Sposta $9$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$2 x {(2 x^{3} - 1)}^{2} (9 \cdot x^{3} + 2 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.2.3

Somma $9 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$2 x {(2 x^{3} - 1)}^{2} (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.3

Riscrivi ${(2 x^{3} - 1)}^{2}$ come $(2 x^{3} - 1) (2 x^{3} - 1)$ .

$2 x ((2 x^{3} - 1) (2 x^{3} - 1)) (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.4

Espandi $(2 x^{3} - 1) (2 x^{3} - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 7.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (2 x^{3} (2 x^{3} - 1) - 1 (2 x^{3} - 1)) (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3} - 1)) (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.5

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 7.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.5.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 x (2 \cdot 2 x^{3} x^{3} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.5.1.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.2.1

Sposta $x^{3}$ .

$2 x (2 \cdot 2 (x^{3} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.5.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x (2 \cdot 2 x^{3 + 3} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.5.1.2.3

Somma $3$ e $3$ .

$2 x (2 \cdot 2 x^{6} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.5.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 x (4 x^{6} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 x (4 x^{6} - 2 x^{3} - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.5.1.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 x (4 x^{6} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.5.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 x (4 x^{6} - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 1) (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.5.2

Sottrai $2 x^{3}$ da $- 2 x^{3}$ .

$2 x (4 x^{6} - 4 x^{3} + 1) (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.6

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x (4 x^{6}) + 2 x (- 4 x^{3}) + 2 x \cdot 1) (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(2 \cdot 4 x \cdot x^{6} + 2 x (- 4 x^{3}) + 2 x \cdot 1) (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.7.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(2 \cdot 4 x \cdot x^{6} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x \cdot 1) (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.7.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$(2 \cdot 4 x \cdot x^{6} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Moltiplica $x$ per $x^{6}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1.1

Sposta $x^{6}$ .

$(2 \cdot 4 (x^{6} x) + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.8.1.2

Moltiplica $x^{6}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(2 \cdot 4 (x^{6} x^{1}) + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.8.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(2 \cdot 4 x^{6 + 1} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.8.1.3

Somma $6$ e $1$ .

$(2 \cdot 4 x^{7} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.8.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.8.3

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.1

Sposta $x^{3}$ .

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 (x^{3} x) + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.8.3.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 (x^{3} x^{1}) + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.8.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 x^{3 + 1} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.8.3.3

Somma $3$ e $1$ .

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 x^{4} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.8.4

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$(8 x^{7} - 8 x^{4} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Passaggio 7.9

Espandi $(8 x^{7} - 8 x^{4} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$8 x^{7} (11 x^{3}) + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Passaggio 7.10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.10.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$8 \cdot 11 x^{7} x^{3} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Passaggio 7.10.2

Moltiplica $x^{7}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.10.2.1

Sposta $x^{3}$ .

$8 \cdot 11 (x^{3} x^{7}) + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Passaggio 7.10.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 \cdot 11 x^{3 + 7} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Passaggio 7.10.2.3

Somma $3$ e $7$ .

$8 \cdot 11 x^{10} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Passaggio 7.10.3

Moltiplica $8$ per $11$ .

$88 x^{10} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Passaggio 7.10.4

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Passaggio 7.10.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 x^{4} x^{3} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Passaggio 7.10.6

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.10.6.1

Sposta $x^{3}$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 (x^{3} x^{4}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Passaggio 7.10.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 x^{3 + 4} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Passaggio 7.10.6.3

Somma $3$ e $4$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 x^{7} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Passaggio 7.10.7

Moltiplica $- 8$ per $11$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Passaggio 7.10.8

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Passaggio 7.10.9

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 x \cdot x^{3} + 2 x \cdot - 1$

Passaggio 7.10.10

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.10.10.1

Sposta $x^{3}$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 (x^{3} x) + 2 x \cdot - 1$

Passaggio 7.10.10.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.10.10.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 (x^{3} x^{1}) + 2 x \cdot - 1$

Passaggio 7.10.10.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 x^{3 + 1} + 2 x \cdot - 1$

Passaggio 7.10.10.3

Somma $3$ e $1$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 x^{4} + 2 x \cdot - 1$

Passaggio 7.10.11

Moltiplica $2$ per $11$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 22 x^{4} + 2 x \cdot - 1$

Passaggio 7.10.12

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 22 x^{4} - 2 x$

Passaggio 7.11

Sottrai $88 x^{7}$ da $- 8 x^{7}$ .

$88 x^{10} - 96 x^{7} + 8 x^{4} + 22 x^{4} - 2 x$

Passaggio 7.12

Somma $8 x^{4}$ e $22 x^{4}$ .

$88 x^{10} - 96 x^{7} + 30 x^{4} - 2 x$