Calcolo Esempi

$\cos^{2} (\frac{x}{2})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (\frac{x}{2})$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (\frac{x}{2})$ .

$2 \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\frac{x}{2}$ .

$2 \cos (\frac{x}{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (\frac{x}{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\frac{x}{2}$ .

$2 \cos (\frac{x}{2}) (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) (\sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.3.1

$\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.2

$\frac{- 2}{2}$ e $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{- 2 \cos (\frac{x}{2})}{2} \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.3

$\frac{- 2 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ e $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\frac{- 2 \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.4

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 3.3.4.1

Scomponi $2$ da $- 2 \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$ .

$\frac{2 (- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}))}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}))}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})}{1} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.4.2.4

Dividi $- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$ per $1$ .

$- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}) \cdot 1$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$