Calcolo Esempi

\int x^{2} arcsin (x) d x

$\int x^{2} \arcsin (x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula

$\int u d v = u v - \int v d u$ , dove

$u = \arcsin (x)$ e

$d v = x^{2}$ .

$\arcsin (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{3}$ e

$x^{3}$ .

$\arcsin (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Passaggio 2.2

$\arcsin (x)$ e

$\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Passaggio 3

Poiché

$\frac{1}{3}$ è costante rispetto a

$x$ , sposta

$\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x)$

Passaggio 4

$x^{3}$ e

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Passaggio 5

Sia

$x = \sin (t)$ , dove

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora

$d x = \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ,

$\cos (t)$ è positivo.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Passaggio 6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Passaggio 6.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di

$\cos (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \sin^{3} (t) d t$

Passaggio 7

Metti in evidenza

$\sin^{2} (t)$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

Passaggio 8

Usando l'identità pitagorica, riscrivi

$\sin^{2} (t)$ come

$1 - \cos^{2} (t)$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

Passaggio 9

Sia

$u = \cos (t)$ . Allora

$d u = - \sin (t) d t$ , quindi

$- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Riscrivi usando

$u$ e

$d$

$u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia

$u = \cos (t)$ . Trova

$\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia

$\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Passaggio 9.1.2

La derivata di

$\cos (t)$ rispetto a

$t$ è

$- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema usando

$u$ e

$d u$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int - 1 + u^{2} d u$

Passaggio 10

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (- u + C + \int u^{2} d u)$

Passaggio 12

Secondo la regola della potenza, l'intero di

$u^{2}$ rispetto a

$u$ è

$\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica.

$\frac{1}{3} \arcsin (x) x^{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Passaggio 13.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

$\frac{1}{3}$ e

$\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Passaggio 13.2.2

$\frac{\arcsin (x)}{3}$ e

$x^{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Passaggio 13.2.3

Per scrivere

$- \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Passaggio 13.2.4

$- \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3})$ e

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) \cdot 3}{3} + C$

Passaggio 13.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) \cdot 3}{3} + C$

Passaggio 13.2.6

$\frac{1}{3}$ e

$u^{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{u^{3}}{3}) \cdot 3}{3} + C$

Passaggio 13.2.7

Moltiplica

$3$ per

$- 1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - 3 (\frac{1}{3}) (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Passaggio 13.2.8

$- 3$ e

$\frac{1}{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{- 3}{3} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Passaggio 13.2.9

Elimina il fattore comune di

$- 3$ e

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.9.1

Scomponi

$3$ da

$- 3$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Passaggio 13.2.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.9.2.1

Scomponi

$3$ da

$3$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Passaggio 13.2.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Passaggio 13.2.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{- 1}{1} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Passaggio 13.2.9.2.4

Dividi

$- 1$ per

$1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Passaggio 14

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u$ con

$\cos (t)$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \cos (t) + \frac{\cos^{3} (t)}{3})}{3} + C$

Passaggio 14.2

Sostituisci tutte le occorrenze di

$t$ con

$\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \cos (\arcsin (x)) + \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3})}{3} + C$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici

$(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ ,

$(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ e l'origine. Poi

$\arcsin (x)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso

$(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . Perciò,

$\cos (\arcsin (x))$ è

$\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3})}{3} + C$

Passaggio 15.1.2

Riscrivi

$1$ come

$1^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \sqrt{1^{2} - x^{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3})}{3} + C$

Passaggio 15.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

$a = 1$ e

$b = x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3})}{3} + C$

Passaggio 15.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.3

Moltiplica

$- - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + 1 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.3.2

Moltiplica

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ per

$1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici

$(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ ,

$(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ e l'origine. Poi

$\arcsin (x)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso

$(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . Perciò,

$\cos (\arcsin (x))$ è

$\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{{\sqrt{1 - x^{2}}}^{3}}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.2

Riscrivi

$1$ come

$1^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}^{3}}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

$a = 1$ e

$b = x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{3}}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.4

Riscrivi

${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{3}$ come

$\sqrt{{((1 + x) (1 - x))}^{3}}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{((1 + x) (1 - x))}^{3}}}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.5

Applica la regola del prodotto a

$(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.6

Riscrivi

${(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}$ come

${((1 + x) (1 - x))}^{2} ((1 + x) (1 - x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.6.1

Metti in evidenza

${(1 + x)}^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{(1 + x)}^{2} (1 + x) {(1 - x)}^{3}}}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.6.2

Metti in evidenza

${(1 - x)}^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{(1 + x)}^{2} (1 + x) ({(1 - x)}^{2} (1 - x))}}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.6.3

Sposta

$1 + x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} (1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.6.4

Riscrivi

${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}$ come

${((1 + x) (1 - x))}^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{((1 + x) (1 - x))}^{2} (1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.6.5

Aggiungi le parentesi.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{((1 + x) (1 - x))}^{2} ((1 + x) (1 - x))}}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.7

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.8

Espandi

$(1 + x) (1 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 (1 - x) + x (1 - x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.9

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.9.1.1

Moltiplica

$1$ per

$1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.9.1.2

Moltiplica

$- x$ per

$1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x \cdot 1 + x (- x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.9.1.3

Moltiplica

$x$ per

$1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x + x (- x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.9.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x - x \cdot x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.9.1.5

Moltiplica

$x$ per

$x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.9.1.5.1

Sposta

$x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x - (x \cdot x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.9.1.5.2

Moltiplica

$x$ per

$x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x - x^{2}) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.9.2

Somma

$- x$ e

$x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 + 0 - x^{2}) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.9.3

Somma

$1$ e

$0$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x^{2}) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.10

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{1 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.11

Moltiplica

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ per

$1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} - x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.12

Scomponi

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ da

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} - x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.12.1

Moltiplica per

$1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 1 - x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.12.2

Scomponi

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ da

$- x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- x^{2})}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.12.3

Scomponi

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ da

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- x^{2})$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 - x^{2})}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.13

Riscrivi

$1$ come

$1^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1^{2} - x^{2})}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.4.14

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

$a = 1$ e

$b = x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.5

Per scrivere

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.6

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ e

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 3}{3} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 3 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.8.1

Scomponi

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ da

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 3 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.8.1.1

Scomponi

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ da

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 3$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3) - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.8.1.2

Scomponi

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ da

$- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} ((- 1 (1 + x)) (1 - x))}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.8.1.3

Scomponi

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ da

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} ((- 1 (1 + x)) (1 - x))$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 + (- 1 (1 + x)) (1 - x))}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 + (- 1 \cdot 1 - 1 x) (1 - x))}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.8.3

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 + (- 1 - 1 x) (1 - x))}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.8.4

Riscrivi

$- 1 x$ come

$- x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 + (- 1 - x) (1 - x))}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.8.5

Espandi

$(- 1 - x) (1 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.8.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 (1 - x) - x (1 - x))}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.8.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 \cdot 1 - 1 (- x) - x (1 - x))}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.8.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 \cdot 1 - 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x))}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.8.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.8.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.8.6.1.1

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 - 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x))}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.8.6.1.2

Moltiplica

$- 1 (- x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.8.6.1.2.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + 1 x - x \cdot 1 - x (- x))}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.8.6.1.2.2

Moltiplica

$x$ per

$1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x \cdot 1 - x (- x))}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.8.6.1.3

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x - x (- x))}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.8.6.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.8.6.1.5

Moltiplica

$x$ per

$x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.8.6.1.5.1

Sposta

$x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.8.6.1.5.2

Moltiplica

$x$ per

$x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x - 1 \cdot - 1 x^{2})}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.8.6.1.6

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x + 1 x^{2})}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.8.6.1.7

Moltiplica

$x^{2}$ per

$1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x + x^{2})}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.8.6.2

Sottrai

$x$ da

$x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + 0 + x^{2})}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.8.6.3

Somma

$- 1$ e

$0$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x^{2})}{3}}{3} + C$

Passaggio 15.8.7

Sottrai

$1$ da

$3$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (2 + x^{2})}{3}}{3} + C$

Passaggio 16

Riordina i termini.

$\frac{1}{3} (\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (2 + x^{2})}{3}) + C$